Grupos fuchsianos

Condición necesaria. Tomemos un punto \(x\in X.\) Como la órbita \(\mathcal{O}(x)\) es discreta (no tiene puntos de acumulación), entonces existe un real positivo \(\varepsilon >0\) tal que \[ B_{\varepsilon}(x)\cap \mathcal{O}(x)=\{x\}. \] Para la bola abierta \(B_{\varepsilon/2}(x)\) verifiquemos que el conjunto es finito. Si \(f\in \Gamma\) es un elemento que pertenece al anterior conjunto, entonces existe un elemento \(y\in f\left(B_{\varepsilon/2}(x)\right)\cap B_{\varepsilon/2}(x).\) Como \[ d(x,f(x))\lt d(x,y)+d(y,f(x))\lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \] Esta última relación implica que \(f(x)\in B_{\varepsilon}(x).\) Como \(f(x)\in \mathcal{O}(x),\) dada la naturaleza de la bola abierta \(B_{\varepsilon}(x),\) se deduce que \(f(x)=x.\) Esto implica que \[ \left\{f\in \Gamma: g\left(B_{\varepsilon/2}(x)\right)\cap B_{\varepsilon/2}(x)\neq\emptyset\right\}\subset {\rm St}_{\Gamma}(x). \]

Condición suficiente. Veamos que se satisface la propiedad (1) Supongamos que existe un punto \(x\in X\) tal que la órbita \(\mathcal{O}(x)\) tiene al menos un punto de acumulación \(y\in X.\) Existe un real positivo \(\varepsilon >0\) tal que el conjunto \[ \left\{f\in \Gamma: B_{\varepsilon}(f(y))\cap B_{\varepsilon}(y)\neq\emptyset\right\} \] es finito. Para cada \(n\in\mathbb{N},\) existe un elemento \(x_{n}\in \mathcal{O}(x)\) tal que \(x_{n}\neq y\) y \(d(y,x_{n})\lt \varepsilon /n.\) Así, obtenemos la sucesión \((x_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) de elementos diferentes de la órbita \(\mathcal{O}(x)\) que converge a \(y.\) Para el punto \(x_{n}\) existe un elemento \(f_{n}\in \Gamma\) tal que \(f_{n}(x)=x_{n}.\) Así, obtenemos la sucesión \((f_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) de elementos diferentes de \(\Gamma,\) los cuales safisfacen \[ B_{\varepsilon}f(y)\cap B_{\varepsilon}(y)\neq\emptyset. \] Hemos encontrado al menos una cantidad infinito numero de elementos pertenecientes al conjunto anterior.

La propiedad (2) es evidente.

Basta probar que \(\overline{K}(w, K)\) (como subconjunto de \(\mathbb{R}^{4}\)) es cerrado y acotado.

• (1) \(\overline{K}(w, K)\) es cerrado. Consideremos la restricción (función continua) \(\alpha|_=\psi: {\rm SL}(2,\mathbb{R})\to \mathbb{H}\) dada por \[ T\mapsto T(w). \] Notemos que \(\overline{K}(w,K)\) es la siguiente imagen inversa \[ \psi^{-1}(K)=\{T\in {\rm SL}(2,\mathbb{R}): \psi(T)=T(w)\in K \}. \] Como el subconjunto compacto \(K\) de \(\mathbb{H}\) es cerrado y la función \(\psi\) es continua, entonces la imagen inversa \[ \psi^{-1}(K)=\overline{K}(w,K) \] es un subconjunto cerrado de \({\rm SL}(2,\mathbb{R}).\)
• (2) \(\overline{K}(w, K)\) es acotado. Dado que \(K\) es acotado, entonces existe un real positivo \(C_{1}>0\) tal que \(|z|\leq C_{1}\) para cada \(z\in K.\) Esto implica que si \(T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}\sim \left (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right) \in M,\) entonces tenemos \[ \left|\frac{aw+b}{cw+d}\right|\leq C_{1}. \] Como la función proyección \({\rm Im}: \mathbb{H}\to \mathbb{R}\) es continua, entonces la imagen directa \({\rm Im}(K)\) es un subconjunto compacto de \(\mathbb{R}.\) Entonces existe un real positivo \(C_{2}\) tal que \(C_{2}\leq {\rm Im}(z)\) para cada \(z\in K.\) Esto implica que \begin{equation*} \begin{split} C_{2} &\leq \Im(T(w)), \\ C_{2} & \leq \frac{\Im(w)}{|cw+d|^{2}}. \end{split} \end{equation*} En la anterior desigualdad despejamos adecuadamente y obtenemos \[ |cw+d|\leq \sqrt{\frac{\Im(w)}{C_{2}}}. \] Multiplicamos las desigualdades anteriores \[ \begin{split} \frac{|aw+b|}{\cancel{|cw+d|}}\cancel{|cw+d|}&\leq C_{1}\sqrt{\frac{\Im(w)}{C_{2}}},\\ |aw+b|&\leq C_{1}\sqrt{\frac{\Im(w)}{C_{2}}}. \end{split} \] Así deducimos que \(|a|, |b|, |c|\) y \(|d|\) son acotados.

Consideremos la proyección canónica \(p: {\rm SL}(2,\mathbb{R})\to{\rm PSL}(2,\mathbb{R}),\) entonces tenemos la siguientes equivalencias:

• (1) El grupo \(\Gamma\) es discreto en \({\rm PSL}(2,\mathbb{R})\) si y solo si el grupo \(p^{-1}(\Gamma)\) es discreto en \({\rm SL}(2,\mathbb{R}).\)
• (2) El subgrupo \(\Gamma\) de \({\rm PSL}(2,\mathbb{R})\) actúa propiamente discontinuamente sobre \(\mathbb{H}\) si y solo si \(p^{-1}(\Gamma)\) actúa propiamente discontinuamente sobre \(\mathbb{H}.\)

De las anteriores afirmaciones, nuestro teorema es equivalente a probar: un subgrupo \(\Gamma\) de \({\rm SL}(2,\mathbb{R})\) es discreto si y solo si \(\Gamma\) actúa propiamente discontinuamente sobre \(\mathbb{H}.\)

Condición suficiente. Supongamos que el subgrupo \(\Gamma\) de \({\rm PSL}(2,\mathbb{R})\) es discreto. Por contradicción. Supongamos que la acción de \(\Gamma\) sobre el plano hiperbólico \(\mathbb{H}\) no es propia discontinua. Tomemos un punto arbitrario \(z\in\mathbb{H}\) y una vecindad \(U_{z},\) debemos verificar que el subconjunto \[ \Gamma(z,U_{z})=\left\{T\in \Gamma: T(U_{z})\cap U_{z}\neq \emptyset\right\}\subset \Gamma \] es finito.

Por otro lado, sabemos que \(\mathbb{H}\) es localmente compacto, entonces existe un subconjunto compacto \(K\subset\mathbb{H}\) tal que \(z\in K\subset U_{z}.\) Por el Lema anterior el conjunto \[ \overline{K}(z,K)=\{T\in {\rm SL}(2,\mathbb{R}): T(z)\in K\} \] es compacto. Nótemos que \(\Gamma(z,U_{z})\subset \overline{K}(z,K).\) Por hipótesis, \(\Gamma\) es discreto, por lo tanto, \(\Gamma(z,U_{z})\) también lo es. Como \(\Gamma(z,U_{z})\) es un subconjunto discreto del compacto \(\overline{K}(z,K),\) entonces \(\Gamma(z,U_{z})\) debe ser finito.

Condición necesaria. Supongamos que el grupo \(\Gamma\) no es discreto en \({\rm SL}(2,\mathbb{R}).\) Existe sucesión \((T_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) conformada por elementos de \(\Gamma-\{\rm Id\}\) que converge al elemento \({\rm Id}.\) Recordemos que cada transformación de la sucesión fija uno o dos puntos de \(\mathbb{H}.\) Así, consideramos un punto \(z_{0}\in\mathbb{H}\) que no es fijado por ningún elemento de dicha sucesión, es decir, \(T(z_{0})\neq z_{0}\) para cada \(n\in\mathbb{N}.\) Recordemos que la acción \(\alpha: \Gamma\times \mathbb{H}\to \mathbb{H}\) es continua. Consideramos la sucesión \((T_{n},z_{0})_{n\in \mathbb{N}}\) en el producto \(\Gamma\times \mathbb{H}\) converge a la pareja \(({\rm Id},z_{0}),\) entonces la sucesión \((T_n(z_{0}))_{n\in\mathbb{N}}\subset \mathbb{H}\) converge al punto \(Id(z_{0})=z_{0}.\) Esto quiere decir que la órbita \(\mathcal{O}(z_{0})\) del punto \(z_{0}\) tiene a \(z_{0}\) como a uno de sus puntos de acumulación. Por lo tanto, la órbita \(\mathcal{O}(z_{0})\) tiene al menos un punto de acumulación. Sin embargo, como \(\Gamma\) actúa propiamente discontinuamente sobre \(\mathbb{H},\) el numeral (1) del Teorema anterior nos garantiza que la órbita \(\mathcal{O}(z_{0})\) no tiene puntos de acumulación.

Condición suficiente. Dada que \(\Gamma\) es un grupo fuchsiano entonces \(\Gamma\) actúa propiamente discontinuamente sobre \(\mathbb{H}.\) El inciso (1) del Teorema anterior nos garantiza que la órbita \(\mathcal{O}(z)\) es un subconjunto discreto de \(\mathbb{H},\) para cada \(z\in\mathbb{H}.\)

La condición necesaria corresponde a segunda parte de la prueba del teorema anterior.

Veamos el numeral (1). Tomemos \(z\in \operatorname{Fij}(T_{2})\) y verifiquemos que \(T_{1}(z)\in \operatorname{Fij}(T_{2}).\) Como \(T_{2}(z)=z\) y \(T_{1}\circ T_{2}=T_{2}\circ T_{1},\) entonces \[ T_{1}(z)=T_{1}(T_{2}(z))=T_{2}(T_{1}(z)). \] Esto implica que \(T_{1}(z)\in \operatorname{Fij}(T_{2}).\) Análogamente se prueba el numeral (2). Tomamos \(z\in \operatorname{Fij}(T_{1}),\) entonces \[ T_{2}(z)=T_{2}(T_{1}(z))=T_{1}(T_{2}(z)), \] lo cual implica que \(T_{2}(z)\in \operatorname{Fij}(T_{1}).\)

Debemos considerar tres casos.

Caso 1. \(T_{1}\) es parabólica. Podemos suponer sin pérdida de generalidad (usando conjugación) que \(T_{1}\) está dada por \[ z\mapsto z+1. \] Así, \(\operatorname{Fij}(T_{1})=\{\infty\}.\)

• Condición suficiente. Supongamos que \(T_{1}\circ T_{2}=T_{2}\circ T_{1},\) del Lema anterior tenemos que la transformación \(T_{2}\) preserva los puntos fijos de \(T_{1}.\) Así, \(T_{2}(\infty)=\infty.\) Esto implica que \(T_{2}\) tiene \(\infty\) como punto fijo y tiene regla de asignación \[ z\mapsto az+b, \] para algunos \(a,b\in\mathbb{R}.\) Computamos la relación \(T_{1}\circ T_{2}(z)=T_{2}\circ T_{1}(z)\) y obtenemos \[ \begin{split} T_{1}(az+b)&=T_{2}(z+1),\\ az+b+1&=a(z+1)+b,\\ az+b+1&=az+a+b. \end{split} \] De esta última expresión deducimos que \(a=1.\) Así, \(T_{2}\) tiene regla de asignación \[ z\mapsto z+b. \] Por lo tanto, \(\operatorname{Fij}(T_{2})=\{\infty\}.\)
• Condición necesaria. Supongamos que \(\operatorname{Fij}(T_{1})=\operatorname{Fij}(T_{2}).\) Como \(\operatorname{Fij}(T_{2})=\{\infty\},\) entonces \(T_{2}\) es de la forma \[ z\mapsto az+b \] con \(a\neq 0.\) Si \(a\neq 1,\) entonces \(T_{2}\) tendría un punto fijo adicional. Así que \(a=1\) y la regla de asignación de \(T_{2}\) es de la forma \[ z\mapsto z+b. \] En este caso, \(T_{1}\circ T_{2}=T_{2}\circ T_{1},\) pues \[ \begin{split} T_{1}(z+b)&=T_{2}(z+1),\\ z+b+1&=z+1+b. \end{split} \]

Caso 2. \(T_{1}\) es hiperbólica. Podemos suponer sin pérdida de generalidad (usando conjugación) que \(T_{1}\) está dada por \[ z\mapsto k_{1}z, \] con \(k_{1}>0\) y \(k_{1}\neq 1.\) Así, \(\operatorname{Fij}(T_{1})=\{0, \infty\}.\)

• Condición suficiente. Supongamos que \(T_{1}\circ T_{2}=T_{2}\circ T_{1}.\) Por el Lema anterior tenemos que \(T_{2}(\{0,\infty\})=\{0,\infty\}.\) No se puede dar el caso \(T_{2}(0)=\infty\) y \(T_{2}(\infty)=0,\) porque si ocurriese entonces \(T_{2}\) es de la forma \[ z\mapsto \frac{-k_{2}}{z}, \] para algún \(k_{2}>0\) y así, \(T_{1}\circ T_{2}\neq T_{2}\circ T_{1}.\) Debe satisfacerse que \(T_{2}(0)=0\) y \(T_{2}(\infty)=\infty.\) Esto muestra que \(\operatorname{Fij}(T_{2})=\{0,\infty\}=\operatorname{Fij}(T_{1}).\)
• Condición necesaria. Supongamos que \(\operatorname{Fij}(T_{1})=\operatorname{Fij}(T_{2}).\) Entonces \(\operatorname{Fij}(T_{2})=\{0,\infty\}.\) Así, \(T_{2}\) tiene regla de asignación \[ z\mapsto k_{2} z, \] para algún \(k_{2}>0.\) Para este caso, las transformaciones de Möbius \(T_{1}\) y \(T_{2}\) conmutan, porque \[ \begin{split} T_{1}\circ T_{2}(z)&=T_{2}\circ T_{1}(z),\\ T_{1}(k_{2} z)&=T_{2}(k_{1}z),\\ k_{1}k_{2} z&=k_{2} k_{1}z. \end{split} \]

Caso 3. \(T_{1}\) es elíptica. Podemos suponer sin pérdida de generalidad (usando conjugación) que \(T_{1}\) está dada por \[ z\mapsto \frac{z\cos\theta_{1} +\sen\theta_{1}}{-z\sen\theta_{1} +\cos \theta_{1}}, \] para algún \(\theta_{1}\in[0,2\pi).\) Así, \(\operatorname{Fij}(T_{1})=\{i\}.\)

• Condición suficiente. Por el Lema anterior, tenemos que \(i\in \operatorname{Fij}(T_{2}).\) Por el Teorema de clasificación por traza concluimos que \(\operatorname{Fij}(T_{2})=\{i\}.\)
• Condición necesaria. Supongamos que \(\operatorname{Fij}(T_{1})=\operatorname{Fij}(T_{2}).\) Entonces \(\operatorname{Fij}(T_{2})=\{i\}.\) Así, \(T_{2}\) es de la forma \[ z\mapsto \frac{z\cos \theta_{2}+\sen\theta_{2}}{-z\sen\theta_{2}+\cos\theta_{2}}. \] para algún \(\theta_{2} \in[0,2\pi).\) En este caso es fácil computar \(T_{1}\circ T_{2}=T_{2}\circ T_{1}.\)

Como \(T_{1}\) y \(T_{2}\) conmutan, entonces \(\operatorname{Fij}(T_{1})=\operatorname{Fij}(T_{2}).\) Así mismo, como \(T_{2}\) y \(T_{3}\) conmutan, entonces \(\operatorname{Fij}(T_{2})=\operatorname{Fij}(T_{3}).\) Así, \(\operatorname{Fij}(T_{1})=\operatorname{Fij}(T_{3}).\) Aplicando el Teorema anterior obtenemos que las transformaciones de Möbius \(T_{1}\) y \(T_{3}\) conmutan.

Tomaremos varias de las ideas descritas en la prueba del teorema anterior. Si \(T\in PSL(2,\mathbb{R})\) es parabólico (hiperbólico, elíptico, respectivamente), entonces el elemento \(\overline{T}\) de \(PSL(2,\mathbb{R})\) está en el centralizador \(\operatorname{C}_{PSL(2,\mathbb{R})}(T)\) si y solo si \(T_{1}\circ \overline{T}=\overline{T}\circ T\) si y solo si \(\operatorname{Fij}(\overline{T})=\operatorname{Fij}(T),\) en este caso \(\overline{T}\) también es una transformación de Möbius parabólica (hiperbólica, elíptica, respectivamente).

Consideremos los puntos fijos \(z\neq w\in\mathbb{H}\) de la transformación hiperbólica \(T\in PSL(2,\mathbb{R}).\) Tomemos \([z,w]\) la geodésica en \(\mathbb{H}\) con extremos los puntos \(z\) y \(w.\) Debemos probar que la transformación de Möbius \(T: \mathbb{H}\to \mathbb{H}\) deja invariante la geodésica \([z,w],\) es decir \(T([z,w])=[z,w].\) Como \(T\) es una isometría del plano hiperbólico \(\mathbb{H}\) entonces la imagen directa \(T([z,w])\) es la única geodésica \([T(z),T(w)]\) con puntos extremos \(T(z)\) y \(T(w).\) Como \(T(z)=z\) y \(T(w)=w,\) entonces la geodésica \([T(z), T(w)]\) coincide con la geodésica \([z,w].\)

Fijemos una transformación de Möbius \(T_{0}\in \Gamma-\{\operatorname{Id}\}\) y tomemos una transformación arbitraria \(T\in \Gamma-\{\operatorname{Id}\}.\) Estudiemos los siguientes tres casos.

Caso 1. La transformación \(T_{0}\) es hiperbólica. Después de conjugar, asumimos que \(T_{0}\) es de la forma \[ z\mapsto k_{0}z, \] para algún \(k_{0}>0.\) Como \(\operatorname{Fij}(T)=\operatorname{Fij}(T_{0})=\{0,\infty\}.\) Entonces \(T\) debe ser de la forma \[ z\mapsto k_{T} z, \] para algún \(k_{T}>0.\) Este hecho implica que el grupo fuchsiano (discreto) \(\Gamma\) es un subgrupo de las transformaciones de Möbius \[ \{z\mapsto k z: k >0\}. \] Nótese que el grupo \(\{z\mapsto k z: k >0\}\) es isomorfo a \((\mathbb{R}_{+}, \cdot )\) (el cual es isomorfo a \((\mathbb{R},+)\)). Esto implica que \(\Gamma\) es isomorfo a un subgrupo discreto de \((\mathbb{R},+).\) Por un teorema conocido obtenemos que \(\Gamma\) es un grupo cíclico infinito. Así concluimos que \(\Gamma\) es isomorfo a \(\mathbb{Z}.\)

Caso 2. La transformación \(T_{0}\) es parabólica. Podemos asumir sin pérdida de generalidad que \(T_{0}\) es de la forma \[ z\mapsto z+1. \] Entonces \(\operatorname{Fij}(T_{0})=\operatorname{Fij}(T)=\{\infty\}.\) Esto implica que \(T\) es de la forma \[ z\mapsto z+b(T) \] para algún \(b(T)\in \mathbb{R}-\{0\}.\) Nótese que el grupo fuchsiano \(\Gamma\) es subgrupo de las transformaciones de Möbius \[ \{z\mapsto z+b: b \in\mathbb{R}\}. \] Como \(\{z\mapsto z+b: b \in\mathbb{R}\}\) es isomorfo a \((\mathbb{R},+)\) se sigue de un teorema conocido que \(\Gamma\) es un grupo cíclico infinito. Así concluimos que \(\Gamma\) es isomorfo a \(\mathbb{Z}.\)

Caso 3. La transformación \(T_{0}\) es elíptica. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que \(T_{0}\) es de la forma \[ z\mapsto \frac{z\cos\theta_{0} +\sen\theta_{0}}{-z\sen\theta_{0} +\cos \theta_{0}}, \] para algún \(\theta_{0}\in[0,2\pi).\) Entonces \(\operatorname{Fij}(T)=\operatorname{Fij}(T_{0})=\{i\}.\) Esto implica que \(T\) es de la forma \[ z\mapsto \frac{z\cos(\theta(T)) +\sen(\theta(T))}{-z\sen(\theta(T)) +\cos(\theta(T))}, \] para algún \(\theta(T)\in [0,2\pi).\) Nótese que el grupo fuchsiano \(\Gamma\) es un subgrupo de las transformaciones de Möbius \[ \left\{z\mapsto \frac{z\cos\theta +\sen\theta}{-z\sen\theta +\cos \theta}: \theta \in [0,2\pi)\right\}. \] Como el grupo de Möbius descrito previamente es isomorfo a \(\mathbb{S}^{1}\) se sigue de un teorema conocido que \(\Gamma\) es un grupo cíclico finito. Así concluimos que \(\Gamma\) es isomorfo a \(\mathbb{Z}_{n},\) para algún \(n\in\mathbb{N}.\)

Inciso (1), del Teorema de conmutación y puntos fijos tenemos que los elementos de \(\Gamma\) tienen los mismos puntos fijos. Aplicamos el Teorema anterior y concluimos que el grupo \(\Gamma\) es cíclico. Inciso (2), fijemos la transformación \(T\in \Gamma-\{\operatorname{Id}\},\) de ejercicios previos tenemos que el centralizador \(\operatorname{C}_{PSL(2,\mathbb{R})}(T)\) es un grupo fuchsiano abeliano. Usando el inciso (1) concluimos que \(\operatorname{C}_{PSL(2,\mathbb{R})}(T)\) es cíclico.

Supongamos que existe un grupo fuchsiano \(\Gamma\) isomorfo a \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}.\) Esto quiere decir que \(\Gamma\) es abeliano. El numeral (1) del Teorema anterior garantiza que el grupo fuchsiano \(\Gamma\) es cíclico. Este hecho implica que el grupo \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) también lo es. Sin embargo, \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) no es cíclico.

Supongamos que el normalizador \(\operatorname{N}_{PSL(2,\mathbb{R})}(\Gamma)\) de \(\Gamma\) en \(\operatorname{PSL}(2, \mathbb{R})\) no es fuchsiano. Entonces en \(\operatorname{N}_{PSL(2,\mathbb{R})}(\Gamma)\) existe una sucesión \(\{T_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\) de elementos distintos de la identidad que converge a \(\operatorname{Id}.\) Notemos que para cualquier transformación de Möbius \(T \in \Gamma,\) la sucesión de conjugados \((T_{n}\circ T\circ T_{n}^{-1})_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(T.\) De la definición del normalizador tenemos que para cada \(n\in \mathbb{N}\) \[ T_{n} \circ T \circ T_{n}^{-1} \in \Gamma. \] Por el criterio de discretización de subgrupos topológicos, debe existir un entero positivo \(M(T)\in\mathbb{N}\) tal que para cada \(m\geq M(T)\) se satisface \[ T_{m} \circ T \circ T_{m}^{-1}=T. \] Ahora consideremos cualesquiera dos elementos \(T, \overline{T}\) en \(\Gamma-\{\operatorname{Id}\}.\) Entonces existe un entero positivo \(M\in\mathbb{N}\) tal que para cada \(m\geq M\) se satisfacen simultáneamente \[ \begin{split} T_{m} \circ T \circ T_{m}^{-1}=T \quad \text{y} \quad T_{m} \circ \overline{T} \circ T_{m}^{-1}=\overline{T},\\ T_{m}\circ T=T\circ T_{m} \quad \text{y} \quad T_{m}\circ \overline{T}=\overline{T}\circ T_{m}. \end{split} \] Del Teorema de conmutación para tres transformaciones se sigue que las transformaciones de Möbius \(T\) y \(\overline{T}\) de \(\Gamma\) conmutan. Dado que las transformaciones fueron consideradas arbitrariamente, podemos concluir que \(\Gamma\) es conmutativo. Esto implica que \(\Gamma\) es abeliano.

Tomemos la matriz \(A\in \Gamma-\{\operatorname{Id}\}.\) Después de una apropiada conjugación, tenemos \[ A=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sen\theta\\ \sen \theta & \cos \theta \end{pmatrix}. \] Ahora, tomemos \(B\) un elemento arbitrario de \(\Gamma\) dado por \[ B=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}. \] Sabemos que \(\det(B)=1=ad-bc.\) Entonces Por hipótesis, el conmutador \[ [A,B]=ABA^{-1}B^{-1}, \] debe ser \(\operatorname{Id}\) o un elemento elíptico. A partir del cálculo de la traza anterior y el teorema de clasificación por traza tenemos que el conmutador \([A,B]=ABA^{-1}B^{-1}=\operatorname{Id},\) para cualquier elemento \(B\in \Gamma.\) Aplicando un teorema anterior tenemos que \(\Gamma\) es abeliano. Finalmente, usando el teorema de conmutación y puntos fijos tenemos que los elementos de \(\Gamma\) tienen el mismo punto fijo en \(\widehat{\mathbb{H}}.\) En particular, \(\Gamma\) es elemental, pues la órbita finita corresponde a la descrita por el punto fijo.

Del teorema anterior deducimos que \(\Gamma\) es un grupo abeliano. Usando un teorema previo sobre grupos fuchsianos con mismos puntos fijos obtenemos que \(\Gamma\) es un grupo cíclico finito.

Consideremos una órbita finita \(\mathcal{O}(z)\) del grupo fuchsiano elemental \(\Gamma\) en \(\widehat{\mathbb{H}}.\) Debemos estudiar los siguientes tres casos.

Caso 1. La cardinalidad de \(\mathcal{O}(z)\) es uno. Entonces \(\mathcal{O}(z)=\{\alpha\},\) para algún \(\alpha\in \widehat{\mathbb{H}}.\) Entonces \(\{\alpha\}=\operatorname{Fij}(T),\) para cada \(T\in\Gamma-\{\operatorname{Id}\}.\)

• * Si \(\alpha\in\mathbb{H},\) entonces todos los elementos de \(\Gamma\) son elípticos. Usando un teorema anterior, el grupo abeliano elemental \(\Gamma\) es un grupo cíclico finito, es decir, \(\Gamma\) es isomorfo a \(\mathbb{Z}_{n},\) para algún \(n\in \mathbb{N}.\)
• * Si \(\alpha\in\mathbb{R}\cup\{\infty\},\) entonces \(\Gamma\) no tiene elementos elípticos. Tenemos tres subcasos.

• (a) Si \(\Gamma\) contiene elementos hiperbólicos y parabólicos. Después de una adecuada conjugación, obtenemos que \(\Gamma\) contiene un elemento \(T_{1}\) de la forma \(z\mapsto kz,\) para algún \(k>0.\) Entonces \(\alpha \in \operatorname{Fij}(T_{1})=\{0,\infty\}.\) Así, \(\alpha=0\) o \(\alpha=\infty.\) Si \(\alpha=0,\) consideramos la transformación de Möbius \(\psi\) dada por \(z\mapsto -\frac{1}{z},\) y consideramos el grupo conjugado \(\psi \Gamma \psi^{-1}\) en lugar de \(\Gamma.\) Podemos asumir que \(\alpha=\infty.\) Si es necesario, también podemos reemplazar \(T_{1}\) por \(T_{1}^{-1}\) y asumir que \(k>1.\) Ahora, consideramos un elemento parabólico \(T_{2}\) de \(\Gamma.\) Dado que \(\alpha \in \operatorname{Fij}(T_{2}),\) entonces \(\{\infty\}=\operatorname{Fij}(T_{2}).\) Así, \(T_{2}\) está dada por \(z\mapsto z+b,\) para algún \(b\in\mathbb{R}.\) Ahora, tomamos la conjugación \(T^{-n}_{1}\circ T_{2}\circ T_{1}^{n}=z+k^{-n}b.\) Dado que \(k>0,\) entonces la sucesión \((T_{1}^{-n}\circ T_{2}\circ T_{1}^{n})_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(\operatorname{Id},\) lo cual contradice la discretización del grupo \(\Gamma.\)
• (b) Si \(\Gamma-\{\operatorname{Id}\}\) solo contiene elementos parabólicos. Entonces cada uno de sus elementos tiene como único punto fijo a \(\alpha.\) De un teorema anterior concluimos que \(\Gamma\) es isomorfo a \(\mathbb{Z}.\)
• (c) Si \(\Gamma-\{\operatorname{Id}\}\) solo tiene elementos hiperbólicos. Como en el inciso (a), asumimos que \(\Gamma\) contiene a \(T_{1}\) dada por \(z\mapsto kz,\) con \(k\neq 1.\) Así, \(\alpha=\infty.\) Si \(\langle T_{1} \rangle =\Gamma,\) entonces \(\Gamma\) es cíclico. Caso contrario, si \(\langle T_{1} \rangle \neq \Gamma,\) entonces consideramos un elemento \(T_{2}\in \Gamma-\langle T_{1} \rangle.\) Dado que \(\alpha\in\operatorname{Fij}(T_{2}),\) entonces \(T_{2}\) es de la forma \(z\mapsto az+b,\) para algún \(a\neq 0\) y \(b\in\mathbb{R}.\) Nótese que el conmutador \(T_{1}\circ T_{2}\circ T_{1}^{-1}\circ T_{2}^{-1}\) es de la forma \(z\mapsto z+(k-1)b.\) Si \(b\neq0,\) entonces \(T_{2}\) es un elemento parabólico, lo cual es una contradicción. Si \(b=0,\) entonces \(T_{2}\) es de la forma \(z\mapsto az.\) Así, todos los elementos de \(\Gamma-\{\operatorname{Id}\}\) son de la forma \(z\mapsto \overline{k}z,\) con \(\overline{k}\in\mathbb{R}_{+}.\) Como \(\Gamma\) es discreto, entonces \(\Gamma\) es isomorfo a un subgrupo discreto de \((\mathbb{R}_{+}, \cdot).\) Así, \(\Gamma\) es isomorfo a \(\mathbb{Z}.\)

Caso 2. La cardinalidad de \(\mathcal{O}(z)\) es dos, es decir, \(\mathcal{O}(z)=\{\alpha_{1},\alpha_{2}\}.\) * Si \(\mathcal{O}(z)\subset\mathbb{H},\) entonces todos los elementos de \(\Gamma-\{\operatorname{Id}\}\) son elípticos. Usando un teorema anterior concluimos que \(\Gamma\) es un grupo cíclico finito. * Si \(\mathcal{O}(z)\subset \mathbb{R}\cup\{\infty\}.\) Entonces \(\Gamma\) no tiene elementos parabólicos. En efecto, un elemento parabólico tiene un sola órbita finita en \(\mathbb{R}\cup\{\infty\}\) y dicha órbita contiene un único punto. Estudiamos los siguientes tres casos.

• (a) Si \(\Gamma-\{\operatorname{Id}\}\) contiene solamente elementos hiperbólicos, entonces \(\alpha_{1}\) y \(\alpha_{2}\) son los puntos fijos de los elementos de \(\Gamma-\{\operatorname{Id}\}\) y además, \(\alpha_{1}\) y \(\alpha_{2}\) son órbitas de \(\Gamma.\) Esto implica que \(\mathcal{O}(z)\) no es una órbita de \(\Gamma.\)
• (b) Si \(\Gamma-\{\operatorname{Id}\}\) contiene solamente elementos elípticos, usando un teorema anterior concluimos que \(\Gamma\) es un grupo cíclico finito.
• (c) Si \(\Gamma-\{\operatorname{Id}\}\) contiene elementos elípticos y parabólicos. Todos los elementos elípticos tienen orden dos y permutan los puntos fijos \(\alpha_{1}\) y \(\alpha_{2}.\) Después de una apropiada conjugación, podemos asumir que \(\alpha_{1}=0\) y \(\alpha_{2}=\infty.\) Todos los elementos hiperbólicos en \(\Gamma\) tienen la forma \(T_{k}(z)=kz,\) para algún \(k>0\) y \(k\neq 1.\) Todos los elementos elípticos en \(\Gamma\) tienen la forma \(\overline{T}_{b}=-\frac{b}{z},\) para algún \(b>0.\) Ahora, consideramos el subgrupo \(\Gamma_{0}\) de \(\Gamma\) conformado por \(\operatorname{Id}\) y todos los elementos hiperbólicos de \(\Gamma.\) Entonces \(\Gamma_{0}\) tiene índice dos en \(\Gamma.\) La clase no trivial de \(\Gamma_{0}\) en \(\Gamma\) está conformada por todos los elementos elípticos de \(\Gamma.\) Consideremos un elemento elíptico \(T_{b}\) de \(\Gamma,\) entonces tomamos la transformación de Möbius \(S\) dada por \(z\mapsto \sqrt{b}z.\) Ahora, consideramos el grupo conjugado \(S\circ \Gamma_{0}\circ S^{-1},\) el cual satisface \(S\circ \Gamma_{0}\circ S^{-1}=\Gamma_{0}.\) Esto es, \[ S\circ \overline{T}_{b}\circ S^{-1}=\overline{T}_{1}=\psi. \] Entonces \[ S\circ \Gamma \circ S^{-1}=\Gamma_{0}\cup \left(\psi \circ \Gamma_{0}\right). \] Dado que \(\Gamma_{0}\) es discreto, entonces \(\Gamma_{0}=\langle T_{k} \rangle,\) para algún \(k>0\) y \(k\neq 1.\) Así, \(S\circ \Gamma \circ S^{-1}=H_{k}.\)

Caso 3. La órbita \(\mathcal{O}(z)\) consiste de tres o más puntos. Entonces \(\mathcal{O}(z)\subset \mathbb{R}\cup\{\infty\}\) y \(\Gamma-\{\operatorname{Id}\}\) contiene solamente elementos elípticos. De un teorema anterior concluimos que \(\Gamma\) es un grupo cíclico finito.

Deben estudiarse dos casos. Caso 1. La transformación \(T\) tiene un único punto fijo. Denotemos mediante \(\alpha\) al único punto de \(T.\) Como \(S_{m}\) es conjugada a \(T,\) entonces \(S_{m}\) tiene un único punto fijo, con \(m\in \{1,\ldots,n-1\}\) y algún \(n\in\mathbb{N}.\) Adicionalmente, tenemos que \[ \begin{aligned} S_{m+1} \circ S_{m} (\alpha) & = S_{m} \circ T \circ S_{m}^{-1} \circ S_{m}(\alpha), \\ & = S_{m}\circ T(\alpha), \\ & = S_{m}(\alpha). \end{aligned} \] Esto quiere decir que \(S_{m+1}\) fija a \(S_{m}(\alpha),\) es decir, \(\operatorname{Fij}(S_{m+1})=\{S_{m}(\alpha)\}.\) Dado que \(S_{n}=T,\) entonces \(S_{m}\) fija a \(\alpha,\) entonces \(\operatorname{Fij}(S_{m})=\{\alpha\}.\) Esto prueba que el grupo generado \(\langle S, T \rangle\) es elemental. En particular, \(\operatorname{Fij}(S_{1})=\{\alpha\}=\operatorname{Fij}(T).\) Por el teorema de conmutación y puntos fijos tenemos que \[ \begin{split} T\circ S_{1} &= S_{1}\circ T,\\ T &= S_{1}\circ T \circ S_{1}^{-1},\\ T &= S_{2}. \end{split} \] Caso 2. La transformación \(T\) tiene dos puntos fijos. Supongamos que \(\operatorname{Fij}(T)=\{\alpha,\beta\}\) para algunos \(\alpha, \beta\in\widehat{\mathbb{H}}.\) Como \(S_{m+1}\) es conjugada a \(T,\) para \(m\in\{0,\ldots,n-1\},\) entonces \(S_{m+1}\) tiene también exactamente dos puntos fijos y es hiperbólica. Adicionalmente, Todas las órbitas de una transformación hiperbólica son infinitas con la excepción de sus dos puntos fijos. Por lo tanto \(\operatorname{Fij}(S_{m+1})=\{S_{m}(\alpha), S_{m}(\beta)\}.\) Por hipótesis, \(S_{n}=T,\) entonces \(\operatorname{Fij}(S_{n})=\operatorname{Fij}(T)=\{\alpha,\beta\}.\) Usando la relación anterior concluimos que \[ \operatorname{Fij}(S_{m})=\{\alpha,\beta\} \text{ y } \operatorname{Fij}(S_{0})=\{\alpha,\beta\}. \] Este hecho muestra que los puntos \(\alpha\) y \(\beta\) son fijados por todas las transformaciones de Möbius del grupo generado \(\langle S, T \rangle.\) Esto prueba que dicho grupo generado es elemental. En particular, \(\operatorname{Fij}(S_{1})=\{\alpha,\beta\}=\operatorname{Fij}(T).\) Por el teorema de conmutación y puntos fijos tenemos que \[ \begin{split} T\circ S_{1} &= S_{1}\circ T,\\ T &= S_{1}\circ T \circ S_{1}^{-1},\\ T &= S_{2}. \end{split} \]

Si la transformación \(T\) es de orden 2, entonces \(\operatorname{Tr}(T) = 0\) y la desigualdad se tiene. Contrariamente, si \(T\) no es de orden 2, entonces definimos la transformación de Möbius \(S_{m},\) para cada \(m\geq 0\) como en el lema anterior. Vamos a demostrar que si la desigualdad falla, entonces existe un \(n\in\mathbb{N}\) tal que \(S_{n}=T,\) lo cual, por el lema anterior implicaría que el grupo generado \(\langle S, T\rangle\) es elemental, una contradicción. Como la expresión en la desigualdad está bien definida para \(T,S \in PSL(2, \mathbb{R}),\) trabajaremos con matrices que representen estas transformaciones. Estudiamos los siguientes tres casos.

Caso 1. \(T\) es parabólica. Como la traza es invariante bajo conjugación, podemos asumir que \[ T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad S = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \] donde \(c\neq 0\) (pues en caso contrario el grupo generado sería elemental). Vamos a asumir que la desigualdad falla, es decir, que \(|c|\lt 1.\) Así, \[ S_{n}=\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}. \] Entonces obtenemos \[ \begin{split} S_{n+1} &=S_{n} T S_{n}^{-1},\\ \begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 - a_n c_n & a_n^2 \\ -c_n^2 & 1 + a_n c_n \end{pmatrix}. \end{split} \] Por inducción deducimos que \(c_n=-(-c)^{2n}=-c^{2n}\) para \(n>0\) y como \(|c|\lt 1,\) tenemos que la sucesión \((c_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(0.\) Ahora, como \(|c_n|\lt 1,\) tenemos por inducción que \(|a_n| \leq n + |a|,\) así que la sucesión \((a_n c_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(0.\) Por tanto, la sucesión \((a_{n+1})_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(1.\) Esto implica que la sucesión de transformaciones de Möbius \((S_{n+1})_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(T,\) lo cual por la discretización se tiene \(S_n=T\) para \(n\) lo suficientemente grande.

Caso 2. \(T\) es hiperbólica. Vamos a asumir que \[ T = \begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & 1/u \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad S = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] tal que \(bc \neq 0\) (en caso contrario, el grupo generado sería elemental). Si la desigualdad no se tiene, entonces obtenemos

Por otro lado, \[ \begin{split} S_{n+1} &=S_{n} T S_{n}^{-1},\\ \begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} a_n d_n u - \frac{b_n c_n}{u} & a_n b_n \left(\frac{1}{u}-u\right) \\ c_n d_n \left(u - \frac{1}{u}\right) & \frac{a_n d_n}{u} - b_n c_n u \end{pmatrix}, \end{split} \] así \(b_{n+1}c_{n+1}=-b_n c_n (1+b_n c_n)\left(u-\frac{1}{u}\right)^2.\) Por inducción tenemos \[|b_n c_n| \leq \mu^n |bc| \leq |bc|.\] Esto implica que la sucesión \((b_n c_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(0,\) la sucesión \[(a_n d_n)_{n\in\mathbb{N}}=(1 + b_n c_n)_{n\in\mathbb{N}}\] converge a \(1,\) la sucesión \((a_{n+1})_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(u,\) y la sucesión \((d_{n+1})_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(1/u.\) De las anteriores convergencias, obtenemos que la sucesión \[\left(\left| \frac{b_{n+1}}{b_n}\right|\right)_{n\in\mathbb{N}}=\left(\left|a_n\left(\frac{1}{u}-u\right)\right|\right)_{n\in\mathbb{N}}\] converge a \[\left|u\left(\frac{1}{u}-u\right)\right| \leq \mu^{1/2}|u|.\] Así obtenemos la cota \[\left| \frac{b_{n+1}}{u^{n+1}} \right| \lt \mu^{1/2} \left| \frac{b_n}{u^n} \right|\] para \(n\) suficientemente grande. Lo cual implica que la sucesión \(\left(\frac{b_n}{u^n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(0\) y la sucesión \((c_n u^n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(0.\) Usando estas convergencias, obtenemos que la sucesión de matrices \[ (T^{-n} S_{2n} T^{n})_{n\in\mathbb{N}}=\left( \begin{pmatrix} a_{2n} & \frac{b_{2n}}{u^{2n}} \\ c_{2n} u^{2n} & d_{2n} \end{pmatrix} \right)_{n\in\mathbb{N}} \] converge a la matriz \(T.\) Dado que el grupo generado \(\langle T, S \rangle\) es discreto, entonces para un \(n\) suficientemente grande tenemos que \(T^{-n} S_{2n} T^{n}=T.\) Esto implica que \(S_{2n}=T.\)

Caso 3. \(T\) es elíptica. Usando el modelo del disco unitario podemos asumir que \[ T = \begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & 1/u \end{pmatrix} \] donde \(u \in \mathbb{C},\) \(|u|=1.\) Usando las mismas ideas descritas en la prueba del Caso 2 obtenemos la desigualdad de Jørgensen.

Ahora mostremos que la cota inferior propuesta en la desigualdad es la mejor posible. Considere el grupo generado por \(T(z) = z+1\) y \(S(z) = \frac{-1}{z}.\) Sabemos que \(\langle T, S \rangle = PSL(2, \mathbb{Z})\) el cual es discreto y no elemental. Tenemos que \[ T\circ S \circ T^{-1} \circ S^{-1}(z) = \frac{2z+1}{z+1}, \] cuya traza es \(3,\) con lo cual la igualdad se tiene en la desigualdad.

Condición suficiente. Si el grupo \(\Gamma\) es discreto, entonces cada subgrupo de \(\Gamma\) también es discreto.

Condición necesaria. Suponga que \(\Gamma\) no es discreto y que para cualesquiera dos elementos \(S,T\) de \(\Gamma\) el subgrupo generado \(\langle T, S \rangle\) de \(\Gamma\) es discreto. Entonces existe una sucesión \((T_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de transformaciones distintas en \(\Gamma-\{\operatorname{Id}\}\) tal que dicha sucesión converge a \(\operatorname{Id}.\) Como \(T^2=\operatorname{Id}\) implica que \(\operatorname{Tr}(T) = 0\) y \(\operatorname{Tr}(T)\) es una función continua en \(PSL(2, \mathbb{R}),\) podemos escoger una subsucesión que no contenga elementos de orden 2. Entonces para algún \(S \in \Gamma\) tenemos que la sucesión \[ \left(|\operatorname{Tr}^{2}(T_n)-4| + |\operatorname{Tr}(T_n S T_n^{-1} S^{-1})-2|\right) \] converge a \(0.\)

Usando el teorema de la desigualdad de Jørgensen, existe un número natural \(N(S)\) tal que para \(n \geq N(S),\) el grupo \(\langle T_n, S \rangle\) es elemental. Usando un ejercicio previo concluimos que \(\Gamma\) contiene dos elementos hiperbólicos \(S_1\) y \(S_2\) sin puntos fijos en común. Para \(n\geq \max(N(S_1), N(S_2)),\) los grupos \(\langle T_n, S_1 \rangle\) y \(\langle T_n, S_2 \rangle\) son elementales y discretos. El teorema de clasificación de grupos elementales nos garantiza que la transformación \(T_n\) debe dejar invariantes el par de puntos fijos de \(S_1\) y de \(S_2.\) Como \(T_n\) no es elíptica de orden 2, esta no puede intercambiar un par de puntos, así \(T_n\) debe fijar cada punto fijo individual de \(S_1\) y de \(S_2.\) Y como sus puntos fijos no coinciden, \(T_n\) debe fijar cuatro puntos distintos, lo cual implica que \(T_n = \operatorname{Id},\) una contradicción.