Disco de Poincaré

Exploraremos el disco de Poincaré $\Delta,$ que consiste del disco unitario \[ {\rm D}=\{z\in\mathbb{C}: |z|\lt 1\}. \] dotado de cierta métrica Riemanniana $\mu_{\Delta}$ (véase Figura 1). En este espacio geométrico $\Delta,$ al igual que el espacio hiperbólico $\mathbb{H},$ también se cumple la negación del Postulado V de Euclides.

No obstante, el disco de Poincaré $\Delta$ está estrechamente conectado con el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$ Más precisamente, estos dos espacios son isométricos, es decir, existe una función diferenciable, este caso una transformación de (Cayley) Möbius $\psi,$ relacionando las métricas Riemannianas $\mu_{\Delta}$ y $\mu_{h}.$ La función $\psi$ es el puente para expresar las geodésicas, función distancia, grupos de isometrías del disco de Poincaré $\Delta$ a partir del catálogo de propiedades, discutidas previamente, del plano hiperbólico $\mathbb{H}.$

La asignación $\mu_{\Delta}$ sobre el disco unitario \[ {\rm D}=\left\{z\in\mathbb{C}:|z|\lt 1\right\}, \] la cual corresponde a cada complejo $z\in {\rm D}$ el producto interno \begin{equation} \mu_{\Delta}(z):=\langle \,\, , \, \rangle_{\Delta}^{z}:=\frac{4\langle \,\, , \, \rangle_{c}}{(1-|z|^{2})^{2}}. \end{equation} sobre el espacio tangente $T_{z}{\rm D},$ es una métrica Riemanniana, conocida como la métrica Riemanniana del disco de Poincaré.

Para completar la prueba debemos probar que satisfacen dos condiciones:

(1) Para cada $z\in U$ la función $\mu_{\Delta}$ es un producto interno sobre el espacio tangente $T_{z}{\rm D}.$
(2) La función $g_{i,j}$ es diferenciable, para cada $i,j\in\{1,2\}.$

(1) La función $\mu_{\Delta}(z)$ es un producto interno. Recordemos que el espacio tangente $T_{z}{\rm D}$ es isomorfo al $\mathbb{R}$ espacio vectorial $\mathbb{C}$ y, la función $\langle \,\, , \, \rangle^{z}_{e}$ es un producto interno sobre $T_{z}{\rm D}.$ Del Problema 2 se sigue que la función $\langle \,\, ,\,\rangle_{\Delta}^{z}: T_{z}{\rm D}\times T_{z}{\rm D}\to\mathbb{R}$ dado por \[ \langle z_{1},z_{2}\rangle_{\Delta}^{z}:=\frac{4\langle z_{1} , z_{2} \rangle_{c}}{(1-|z|^{2})^{2}}, \] es también un producto interno. (2) Diferenciabilidad de la función $g_{i,j}$. Si consideramos la base canónica $\{e_1,e_2\}$ para $\mathbb{C},$ tenemos que para cualesquiera $i,j\in\{1,2\},$ la función $g_{i,j}: {\rm D} \to \mathbb{R}$ dada por

\[ g_{i,j}(z)=\dfrac{4\langle e_i , e_j \rangle_{e}}{(1-|z|^{2})^2}=\dfrac{4\delta_{i,j}}{(1-|z|^{2})^2}=\frac{4\delta_{i,j}}{(1-({\rm Re}(z))^{2}-({\rm Im}(z))^{2})^2}, \]

es diferenciable. Esta afirmación es cierta, porque las entradas de la matrix Jacobiana

\[ D_{z} g_{i,j}=\left(\frac{16{\rm Re}(z)\delta_{i,j}}{(1-({\rm Re}(z))^{2}-({\rm Im}(z))^{2})^{3}}, \frac{16{\rm Im}(z)\delta_{i,j}}{(1-({\rm Re}(z))^{2}-({\rm Im}(z))^{2})^{3}}\right), \]

son continuas en $U,$ entonces el Teorema de la condición suficiente de diferenciabilidad de una función vectorial nos garantiza que $g_{i,j}$ es diferenciable.

El disco unitario ${\rm D}$ provisto de la métrica Riemanniana $\mu_{\Delta}$ es llamado el disco de Poincaré y, es denotado mediante $\Delta.$ El plano tangente asociado a cada $z$ sobre el disco de Poincaré será denotado mediante $T_{z}\Delta.$

Siguiendo las ideas descritas para la construcción de la distancia hiperbólica $d_{h}$ a partir de la métrica Riemanniana hiperbólica $\mu_{h},$ también podemos obtener una función distancia \begin{equation}\label{ec:funcion_distancia_disco_poincare} \rho_{\Delta} \end{equation} sobre el disco de Poincaré $\Delta$ a partir de la métrica Riemanniana $\mu_{\Delta}.$

Transformación de Cayley

Diremos que los espacios $\mathbb{H}$ y $\Delta$ son isométricos, si existe un difeomorfismo $\psi: \mathbb{H}\to \Delta$ tal que \[ \langle z_{1},z_{2}\rangle_{h}^{z}=\langle D_{z}\psi z_{1}, D\psi_{z} z_{2}\rangle_{\Delta}^{\psi(z)}, \] para todo $z\in \mathbb{H}$ y cualesquiera vectores $z_{1},z_{2}\in T_{z}\mathbb{H}.$ La función $\psi$ es llamada isometría. Este concepto se extiende a las variedades Riemannianas. Vamos a construir una isometría conocida como la transformación de Cayley.

La transformación de Cayley (isometría) $\psi,$ juega un rol imporante sobre el disco de Poincaré $\Delta,$ porque tiene las siguientes propiedades:

(1) La función $\psi$ envía geodésicas del plano hiperbólico $\mathbb{H}$ sobre geodésicas del disco de Poincaré $\Delta.$
(2) La función de Cayley $\psi$ y su inversa $\psi^{-1}$ son una isometrías (preservan distancias), entonces tenemos la igualdad \[ \rho_{\Delta}(z,w)=\rho(\psi^{-1}(z),\psi^{-1}(w)), \] para todo $z,w\in\Delta.$ A partir de esta relación es fácil contruir una fórmula para calcular la distancia entre dos complejos $z$ y $w$ que se encuentran sobre el disco de Poincaré $\Delta.$
(3) El grupo de isometría ${\rm Isom}(\Delta)$ del disco de Poincaré es \[ \psi {\rm Isom}(\mathbb{H})\psi^{-1}. \]

¡Vamos a construir la transformación de Cayley! Concretamente, vamos a entontrar una transformación de Möbius $\psi\in{\rm PSL}(2,\mathbb{C}),$ la cual envía el semi plano superio \[ U=\{z\in\mathbb{C}: {\rm Im}(z)>0\}, \] sobre el disco unitario \[ {\rm D}=\{z\in\mathbb{C}. |z|\lt 1\}, \] tal que los complejos $-1,\textbf{0},1$ son mapeados sobre los puntos $i,-1,-i,$ respectivamente.

La transformación $\psi$ está dada por \[ \psi(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}. \] ¡Encontremos los coeficientes $a,b,c,d\in\mathbb{C}$!

(1) Como $\psi(\textbf{0})=-1$, entonces \begin{align*} \psi(\textbf{0})=\dfrac{b}{d}=-1. \end{align*} Equivalentemente, \begin{equation} b=-d. \end{equation} Reemplazamos en la regla de asignación y obtenemos \[ \psi(z)=\dfrac{az-d}{cz+d}. \]

(2) Evaluamos $\phi$ en los complejos $\rm 1$ y obtenemos

\[ \begin{array}{ccc} \psi(-1)=i & \text{ y } & \psi(1)=-1,\\ &&\\ \dfrac{-a-d}{-c+d}=i & \text{ y } & \dfrac{a-d}{c+d}=-i,\\ &&\\ -a-d=i(-c+d)& \text{ y } & a-d=-i(c+d)\\ \end{array} \]

Sumamos y restamos las anteriores igualdades, así obtenemos

\[ \begin{array}{ccc} {\color{red}\cancel{-a}}-d+{\color{red}\cancel{a}}-d=-ic+{\color{blue}\cancel{id}}-ic{\color{blue}\cancel{-id}} & \text{ y } & -a{\color{red}\cancel{-d}}-a+{\color{red}\cancel{d}}={\color{blue}\cancel{-ic}}+id+{\color{blue}\cancel{ic}}+id,\\ &&\\ -2d=-2ic & \text{ y } & -2a=2id,\\ &&\\ d=ic & \text{ y } & -a=id.\\ \end{array} \]

Estas últimas dos igualdades las reemplazamos en la regla de asignación de $\psi$ para que sus coeficientes queden en términos de $d.$ Luego, computamos y obtenemos

\begin{align*} \psi(z)&=\dfrac{-idz-d}{\dfrac{d}{i}z+d} =\dfrac{\cancel{\color{red}d}\left(-iz-1\right)}{\cancel{\color{red}d}\left(\dfrac{1}{i}z+1\right)}=\dfrac{i(-iz-1)}{z+i},\\ &=\dfrac{z-i}{z+i}. \end{align*}

La transformación de Möbius $\psi$ definida mediante \[ \psi(z)=\dfrac{z-i}{z+i}, \] es llamada transformación de Cayley.

Describimos algunas de las propiedades de la transformación de Cayley:

(1) Su inversa $\psi^{-1}$ está dada por \[ \psi^{-1}(z)=\frac{iz+i}{-z+1} \]
(2) El determinante de $\psi$ es \[ {\rm det}(\psi)=i+i=2i. \] Entonces el elemento $\psi\in{\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ está dada por la regla de asignación
\begin{equation}\label{ec:regla_transformacion_de_cayley} \psi(z)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2i}}z-\dfrac{1}{\sqrt{2i}}i}{\dfrac{1}{\sqrt{2i}}z+\dfrac{1}{\sqrt{2i}}i}. \end{equation}
(3) La transformación $\psi$ se identifica con la clase de matrices
\[ \left\{\left(\begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{2i}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2i}}i \\ \dfrac{1}{\sqrt{2i}} & \dfrac{1}{\sqrt{2i}}i \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2i}} & \dfrac{1}{\sqrt{2i}}i \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2i}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2i}}i \end{matrix}\right) \right\}\in {\rm PSL}(2,\mathbb{C}) \]
(4) La transformación de Cayley $\psi$ envía circunferencias generalizadas sobre circunferencias generalizadas, entonces el eje real ${\rm Re}$ es envíado vía $\psi$ sobre la frontera $\partial \Delta=\{z\in\mathbb{C}. |z|=1\}$ del disco unitario $\Delta.$ La imagen del infinito $\infty$ bajo $\psi$ es \[ \psi(\infty)=1. \]
(5) La transformación de Cayley $\psi$ envía el complejo $i$ sobre \[ \psi(i)=\textbf{0}, \] como $\psi$ es un mapeo continuo y, las funciones continuas envían conexos en conexos, entonces $\psi$ debe de enviar el semi plano superior $U$ sobre el disco de unitario $\Delta$ (véase Figura 2).

La función de Cayley $\psi$ es una isometría.

Debemos probar la igualdad \[ \langle z_{1},z_{2}\rangle_{h}^{z}=\langle D_{z}\psi z_{1}, D\psi_{z} z_{2}\rangle_{\Delta}^{\psi(z)}, \] para todo $z\in \mathbb{H}$ y cualesquiera vectores $z_{1},z_{2}\in T_{z}\mathbb{H}.$ Del Teorema de las condiciones de Cauchy-Riemann, tenemos que el producto matricial $D_{z}\psi z_{i}$ es igual a la derivada compleja $\psi'(z)$ producto $z_{i},$ es decir, \[ D_{z}\psi z_{i}= \psi'(z)z_{i} \] para $i\in\{1,2\}.$ Así, de las reglas básicas de la derivada compleja obtenemos que

\begin{align*} \psi'(z)&=\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{z-i}{z+i}\right)=\dfrac{(z+i)-(z-i)}{(z+i)^{2}}=\dfrac{\cancel{\color{red}z}+i\cancel{\color{red}{-z}}+i}{(z+i)^{2}},\\ &\\ &=\dfrac{2i}{(z+i)^{2}}. \end{align*}

Entonces reemplazamos el valor de la derivada compleja en $\langle D_{z}\psi z_{1}, D\psi_{z} z_{2}\rangle_{\Delta}^{\psi(z)}$ y realizamos las operaciones respectivas para obtener

\begin{align*} \langle D_{z}\psi z_{1}, D\psi_{z} z_{2}\rangle_{\Delta}^{\psi(z)}&=\frac{4\langle D_{z}\psi z_{1} , D_{z}\psi z_{2} \rangle_{c}}{(1-|\psi(z)|^{2})^{2}}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ \\ &=\frac{4\left\langle \dfrac{2i}{(z+i)^{2}} z_{1} , \dfrac{2i}{(z+i)^{2}} z_{2} \right\rangle_{c}}{\left(1-\left|\dfrac{z-i}{z+i}\right|^{2}\right)^{2}},\\ \\ &=\frac{4 \dfrac{2i}{(z+i)^{2}} \dfrac{\overline{2i}}{\overline{(z+i)^{2}}}\left\langle z_{1} , z_{2} \right\rangle_{c}}{\dfrac{(|z+i|^{2}-|z-i|^{2})^{2}}{|z+i|^{4}}},\\ \\ &=\frac{16 \dfrac{\cancelto{1}{|i|^{2}}}{\cancel{|z+i|^{4}}} \left\langle z_{1} , z_{2} \right\rangle_{c}}{\dfrac{\left(|z+i|^{2}-|z-i|^{2}\right)^{2}}{\cancel{|z+i|^{4}}}},\\ \\ &=\frac{16 \left\langle z_{1} , z_{2} \right\rangle_{c}}{\left(|z+i|^{2}-|z-i|^{2}\right)^{2}},\\ \end{align*}

\begin{align*} &=\frac{16 \left\langle z_{1} , z_{2} \right\rangle_{c}}{\left([{\rm Re}(z)]^{2}+[{\rm Im}(z)+1]^{2}-([{\rm Re}(z)]^{2}+[{\rm Im }(z)-1]^{2})\right)^{2}},\\ \\ &=\frac{16 \left\langle z_{1} , z_{2} \right\rangle_{c}}{\left([{\rm Re}(z)]^{2}+[{\rm Im}(z)]^{2}+2{\rm Im}(z)+1-([{\rm Re}(z)]^{2}+[{\rm Im }(z)]^{2}-2{\rm Im}(z)+1)\right)^{2}},\\ \\ &=\frac{16 \left\langle z_{1} , z_{2} \right\rangle_{c}}{\left(\cancel{[{\rm Re}(z)]^{2}}+\cancel{[{\rm Im}(z)]^{2}}+2{\rm Im}(z)+\cancel{1}\cancel{-[{\rm Re}(z)]^{2}}\cancel{-[{\rm Im }(z)]^{2}}+2{\rm Im}(z)\cancel{-1}\right)^{2}},\\ \\ &=\frac{16 \left\langle z_{1} , z_{2} \right\rangle_{c}}{\left(4{\rm Im}(z)\right)^{2}}=\frac{\cancel{16} \left\langle z_{1} , z_{2} \right\rangle_{c}}{\cancel{16}\left({\rm Im}(z)\right)^{2}}=\frac{ \left\langle z_{1} , z_{2} \right\rangle_{c}}{\left({\rm Im}(z)\right)^{2}},\\ \\ &=\langle z_{1},z_{2}\rangle_{h}^{z}. \end{align*}

Geodésicas sobre el disco de Poincaré

Como consecuencia, la transformación de Cayley $\psi$ envía la geodésica $[z,w]$ del plano hiperbólico $\mathbb{H}$ sobre la geodésica $[\psi(z),\psi(w)]$ del disco de Poincaré $\Delta$ y, su respectiva inversa $\psi^{-1}$ envía la geodésica $[u,v]$ del disco de Poincaré $\Delta$ sobre la geodésica $[\psi^{-1}(u),\psi^{-1}(v)]$ del plano hiberbólico $\mathbb{H}.$

Sabemos que las geodésicas del plano hiperbólico $\mathbb{H}$ corresponden a segmentos de líneas hiperbólica. Recordemos que las líneas hiperbólicas provienen de circunferenias generalizadas ortogonales al eje real (véase Definición 7, Capítulo 3).

¿A qué objetos geométricos corresponden la imagen directa bajo la transformación de Cayley $\psi$ de estas líneas hiperbólicas?

Recordemos que la transformación de Cayley $\psi$ tiene las siguientes propiedades:

(1) Es una función holomorfa, por lo tanto preserva ángulos.
(2) La transformación $\psi$ es una Móbius, por lo tanto actúa sobre el conjunto de circunferencias geranalizadas. Véase Figura 3.

De las anteriores dos características de posee la transformación $\psi,$ concluimos que la imagen directa bajo la transformación de Cayley $\psi$ una línea hiperbólica es un trozo de circunferencia generalizada tal que dicha circunferencia es ortgonal a la frontera $\partial \Delta$ del disco de Poincaré $\Delta.$ Véase Figura 4.

Líneas hiperbólicas del disco de Poincaré.

Las geodésicas del disco de Poincaré $\Delta$ corresponden a (trozos) segmentos de líneas del disco de Poincaré, en otras palabras, las geodésicas son segmentos de circunferencas generalizadas en $\Delta$ ortogonales a la frontera $\partial \Delta$ del disco de Poincaré $\Delta.$

Distancia

La función de Cayley $\psi$ y su inversan $\psi^{-1}$ son funciones que preservan la distancias sobre el disco de Poincaré y el plano hiperbólico, respectivamente. Es decir,

(1) Para cualesquiera complejos $z,w\in\mathbb{H},$ se cumple \[\rho(z,w)=\rho_{\Delta}(\psi(z),\psi(w)).\]
(2) Para cualesquiera complejos $z,w\in\Delta,$ se cumple \[\rho_{\Delta}(z,w)=\rho(\psi^{-1}(z),\psi^{-1}(w)).\]

La igualdad descrita en el inciso (2) junto con la expresión descrita en el Teorema 12 (Capítulo 3), nos permiten hallar una fórmula para la distancia entre dos complejos $z$ y $w$ sobre el disco de Poincaré.

La distancia $\rho_{\Delta}$ entre los complejos $z,w\in \Delta$ está dada por

\[ \rho_{\Delta}(z,w)=\ln\left( \frac{|1-z\overline{w}|+|z-w|}{|1-z\overline{w}|-|z-w|} \right). \]

Dado que la función inversa $\psi^{-1}$ es una transformación que preserva la distancia, entonces \begin{equation} \rho_{\Delta}(z,w)=\rho(\psi^{-1}(z),\psi^{-1}(w)). \end{equation} Del Teorema 12 (Capítulo 3), reescribimos la igual anterior como

\begin{equation}\label{ec:distancia_disco_Poincare_prueba_the} \rho_{\Delta}(z,w)=\ln\left(\dfrac{\left|\psi^{-1}(z)-\overline{\psi^{-1}(w)}\right|+\left|\psi^{-1}(z)-\psi^{-1}(w)\right|}{\left|\psi^{-1}(z)-\overline{\psi^{-1}(w)}\right|-\left|\psi^{-1}(z)-\psi^{-1}(w)\right|}\right). \end{equation}

Vamos a computar las normas de las diferencias que aparecen en el logaritmo natural anterior y, luego las reemplazamos para obtener la fórmula descrita en el teorema. Para la norma $\left|\psi^{-1}(z)-\overline{\psi^{-1}(w)}\right|$, tenemos:

\begin{align} \left|\psi^{-1}(z)-\overline{\psi^{-1}(w)}\right|&=\left|\dfrac{iz+i}{-z+1}-\overline{\left(\dfrac{iw+i}{-w+1}\right)}\right|,\notag\\ \notag\\ &=\left|\dfrac{i(z+1)}{-z+1}-\dfrac{\overline{i}\overline{w+1}}{\overline{-w+1}}\right|,\notag\\ \notag\\ &=\left|\dfrac{i(z+1)}{-z+1}+\dfrac{i(\overline{w}+1)}{-\overline{w}+1}\right|,\notag\\ \notag\\ &=\left|\dfrac{i[(z+1)(-\overline{w}+1)+(\overline{w}+1)(-z+1)]}{(-z+1)(-\overline{w}+1)}\right|,\notag\\ \notag\\ &=|i|\, \dfrac{|{\color{red}\cancel{-z\overline{w}}}+{\color{blue}\cancel{z}}{\color{green}\cancel{-\overline{w}}}+{\color{orange}\cancel{1}}{\color{red}\cancel{-z\overline{w}}}+{\color{green}\cancel{\overline{w}}}{\color{blue}\cancel{-z}}+{\color{orange}\cancel{1}}|}{|-z+1||-\overline{w}+1|},\notag\\ \notag\\ &=\dfrac{|-2z\overline{w}+2|}{|-z+1||-\overline{w}+1|},\notag\\ \notag\\ &=\dfrac{|2|\, |1-z\overline{w}|}{|-z+1|\,|-\overline{w}+1|}.\label{ec:norma_1_diferencias_en_el_logaritmo_natural} \end{align}

Para la norma $|\psi^{-1}(z)-\psi^{-1}(w)|$, tenemos

\begin{align} |\psi^{-1}(z)-\psi^{-1}(w)|&=\left|\dfrac{iz+i}{-z+1}-\dfrac{iw+i}{-w+1}\right|,\notag\\ \notag\\ &=\left|\dfrac{i(z+1)}{-z+1}-\dfrac{i(w+1)}{-w+1}\right|,\notag\\ \notag\\ &=\left|\dfrac{i[(z+1)(-w+1)-(w+1)(-z+1)]}{(-z+1)(-w+1)}\right|,\notag\\ \notag\\ &=|i|\, \dfrac{|{\color{red}\cancel{-zw}}+{\color{blue}\cancel{z}}{\color{green}\cancel{-w}}+{\color{orange}\cancel{1}}{\color{red}+\cancel{zw}}{\color{green}\cancel{-w}}{\color{blue}\cancel{+z}}{\color{orange}\cancel{-1}}|}{|-z+1||-w+1|},\notag\\ \notag\\ &=\dfrac{|2z-2w|}{|-z+1||-\overline{w}+1|},\notag\\ \notag\\ &=\dfrac{|2|\, |z-w|}{|-z+1|\,|-\overline{w}+1|}.\label{ec:norma_2_diferencias_en_el_logaritmo_natural} \end{align}

Ahora, sustituimos las normas descritas en las ecuaciones \eqref{ec:norma_1_diferencias_en_el_logaritmo_natural} y \eqref{ec:norma_2_diferencias_en_el_logaritmo_natural}, en el logaritmos (véase ecuación \eqref{ec:distancia_disco_Poincare_prueba_the}) y, computamos para obtener

\begin{align*} \rho_{\Delta}(z,w)&= \ln \left(\dfrac{\dfrac{|2|\, |1-z\overline{w}|}{|-z+1|\,|-\overline{w}+1|}+\dfrac{|2|\, |z-w|}{|-z+1|\,|-\overline{w}+1|}}{\dfrac{|2|\, |1-z\overline{w}|}{|-z+1|\,|-\overline{w}+1|}-\dfrac{|2|\, |z-w|}{|-z+1|\,|-\overline{w}+1|}}\right),\\ \\ &=\ln\left(\dfrac{\cancel{\dfrac{|2|}{|-z+1|\,|-\overline{w}+1|}}\left[|1-z\overline{w}|+|z-w|\right]}{\cancel{\dfrac{|2|}{|-z+1|\,|-\overline{w}+1|}}\left[|1-z\overline{w}|-|z-w|\right]}\right).\\ \\ &=\ln\left(\dfrac{|1-z\overline{w}|+|z-w|}{|1-z\overline{w}|-|z-w|}\right). \end{align*}

¡Curiosidad! La distancia en el disco de Poincaré desde cualquier complejo $z\in\Delta$ hasta el cero $\textbf{0}$ es \[ \rho_{\Delta}(0,z)=\ln\left(\displaystyle\frac{1+|z|}{1-|z|}\right). \]

Usando las relaciones descritas en el Lema 11 (Capítulo 3), el lector puede verifacar fácilmente las siguientes relaciones sobre el disco de Poincaré.

Para cualesquiera dos elementos $z,w$ sobre el disco de Poincaré $\Delta$ se satisfacen las siguientes igualdades:

(1) $\senh^{2}\left(\dfrac{1}{2}\rho(z,w)\right)=\dfrac{|z-w|^2}{(1-|z|^2)(1-|w|^2)}.$
(2) $\cosh^{2}\left(\dfrac{1}{2}\rho(z,w)\right)=\dfrac{|1-z\overline{w}|^2}{(1-|z|^2)(1-|w|^2)}.$
(3) $\tanh^2\left(\dfrac{1}{2}\rho(z,w)\right)=\dfrac{|z-w|}{|1-z\overline{w}|}.$

Grupo de Isometrías

El siguiente razonamiento nos permite entender el grupo completo de isometrías del disco de Poincaré $\Delta.$ Si $T:\mathbb{H}\to\mathbb{H}$ es una isometría, entonces la composición \[ \psi\circ T\circ \psi^{-1}: \Delta\to \Delta, \] es una isometría del disco de Poincaré $\Delta.$ En otras palabras, existe un elemento $\widetilde{T}\in{\rm Isom}(\Delta)$ tal que el siguiente diagrama commuta

$$ \begin{equation}\label{ec:elementos_grupos_isom_disco_Poincare} \begin{array}{c} \Delta \xrightarrow{\widetilde{T}} \Delta \\ \psi^{-1}\Big\downarrow \qquad \Big\downarrow \psi^{-1} \\ \mathbb{H} \xrightarrow{T} \mathbb{H} \end{array} \end{equation} $$

es decir, $\psi^{-1}\circ \widetilde{T}=T\circ \psi^{-1}.$ Conversamente, si $g:\Delta\to\Delta$ es una isometría, entonces la composición \[ \psi^{-1}\circ g\circ \psi: \mathbb{H}\to \mathbb{H}, \] es una isometría del plano hiperbólico. En otras palabras, existe un elemento $\widetilde{g}\in{\rm Isom}(\mathbb{H})$ tal que el siguiente diagrama commuta

$$ \begin{equation} \begin{array}{c} \mathbb{H} \xrightarrow{\widetilde{g}} \mathbb{H} \\ \psi\Big\downarrow \qquad \Big\downarrow \psi \\ \Delta \xrightarrow{g} \Delta \end{array} \end{equation} $$

es decir, $\psi\circ \widetilde{g}=g\circ \psi.$ Consecuentemente, concluimos que el grupo de isometrías del disco de Poincaré es conjugado al grupo de isometrías del plano hiperbólico. Más precisamente, \[ {\rm Isom}(\Delta)=\psi {\rm Isom}(\mathbb{H})\psi^{-1}. \] Vamos a dar una precisa descripción de los elementos de ${\rm Isom}(\Delta).$ Tenemos dos posibles formas de escribir la isometría $\widetilde{T}=\psi \circ T \circ \psi^{-1}$ descrita en \eqref{ec:elementos_grupos_isom_disco_Poincare}, siendo \[ T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d} \quad \text{ o } \quad T(z)=\dfrac{a(-\overline{z})+b}{c(-\overline{z})+d}, \] tal que $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ y $ad-bc=1.$

Para el caso $T\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R}),$ la composición $\widetilde{T}=\psi\circ T \circ \psi^{-1}$ está dada por el siguiente producto de clases de matrices

\begin{align*} \widetilde{T}&= \left[\begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{2i}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2i}}i \\ \dfrac{1}{\sqrt{2i}} & \dfrac{1}{\sqrt{2i}}i \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{2i}}i & \dfrac{1}{\sqrt{2i}}i \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2i}} & \dfrac{1}{\sqrt{2i}} \end{matrix}\right],\\ \\ &=\dfrac{1}{\sqrt{2i}}\dfrac{1}{\sqrt{2i}}\left[\begin{matrix}1&-i\\ 1&i \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a&b\\ c&d \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}i&i\\ -1&1 \end{matrix}\right],\\ \\ &=\dfrac{-i}{2}\left[\begin{matrix}a-ic&b-id\\ a+ic&b+id \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}i&i\\ -1&1 \end{matrix}\right],\\ \\ &=\dfrac{-i}{2}\left[\begin{matrix}i(a-ic)-1(b-id)&i(a-ic)+1(b-id)\\ i(a+ic)-1(b+id)&i(a+ic)+1(b+id) \end{matrix}\right],\\ \\ &=\dfrac{-i}{2}\left[\begin{matrix}ia+c-b+id&ia+c+b-id\\ ia-c-b-id&ia-c+b+id \end{matrix}\right],\\ \\ &=\dfrac{-i}{2}\left[\begin{matrix}-(b-c)+i(a+d)&(b+c)+i(a-d)\\ -(b+c)+i(a-d)&(b-c)+i(a+d) \end{matrix}\right],\\ \\ &=\left[\begin{matrix}\dfrac{(a+d)+i(b-c)}{2}&\dfrac{(a-d)-i(b+c)}{2}\\ \dfrac{(a-d)+i(b+c)}{2}&\dfrac{(a+d)-i(b-c)}{2} \end{matrix}\right]. \end{align*}

Los complejos que se encuentran sobre la primera fila de la anterior clases de matrices los denotamos como sigue:

\[ u:=(a+d)+i(b-c) \quad \text{ y } \quad v:=(a-d)-i(b+c). \]

Entonces los términos sobre la segunda fila satisfacen:

\[ \overline{v}=(a-d)+i(b+c) \quad \text{ y } \quad \overline{u}=(a+d)-i(b-c). \]

Así, reescribimos la transformación de Möbius $\widetilde{T}$ como sigue

\[ \widetilde{T}=\left[\begin{matrix} u&v\\ \overline{v}&\overline{u} \end{matrix}\right]. \]

Como $\widetilde{T}$ es un elemento de ${\rm PSL}(2,\mathbb{C}),$ entonces su determinante \[ {\rm det}(\widetilde{T})=u\overline{u}-v\overline{v}=|u|^{2}-|v|^{2}=1. \] Entonces la transformación de Möbius $\widetilde{T}\in{\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ está dada por \[ \widetilde{T}(z)=\dfrac{uz+v}{\overline{v}z+\overline{u}}, \] tal que los complejos $u,v\in\mathbb{C}$ satisfacen $|u|^{2}-|v|^{2}=1.$ Las anteriores cuentas, implican el siguiente resutaldo.

Las isometrías del disco de Poincaré $\Delta$ en ${\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ son de la forma \[ \widetilde{T}(z)=\dfrac{uz+v}{\overline{v}z+\overline{u}}, \] para algunos complejos $u,v\in\mathbb{C}$ satisfacen $|u|^{2}-|v|^{2}=1.$

Denotemos mediante ${\rm Isom}_{+}(\Delta)$ al conjunto de todas las isometrías del disco de Poincaré que son transformaciones de Möbius en ${\rm PSL}(2,\mathbb{C}).$

Vamos a reescribir la regla de asignación de los elementos en ${\rm Isom}_{+}(\Delta).$ Tomemos las transformación de Möbius $\widetilde{T}$ tal que \[ \widetilde{T}(z)=\dfrac{uz+v}{\overline{v}z+\overline{u}}, \] tal que los complejos $u,v\in\mathbb{C}$ satisfacen $|u|^{2}-|v|^{2}=1.$ Computando adecuadamente, obtenemos

\begin{align*} \widetilde{T}(z)&=\dfrac{uz+v}{\overline{v}z+\overline{u}}=\dfrac{u\left(z+\dfrac{v}{u}\right)}{\overline{v}z+\overline{u}}=\dfrac{\dfrac{u}{|u|}\left(z+\dfrac{v}{u}\right)}{\dfrac{\overline{v}}{|u|}z+\dfrac{\overline{u}}{|u|}},\\ \\ &=\dfrac{\dfrac{u}{|u|}\dfrac{u}{|u|}\left(z+\dfrac{v}{u}\right)}{\dfrac{\overline{v}}{|u|}\dfrac{u}{|u|}z+\dfrac{\overline{u}}{|u|}\dfrac{u}{|u|}}=\dfrac{\left(\dfrac{u}{|u|}\right)^{2}\left(z-\left[-\dfrac{v}{u}\right]\right)}{\dfrac{\overline{v}u}{|u|^{2}}z+\dfrac{\overline{u}u}{|u|^{2}}},\\ \\ &=\dfrac{\left(\dfrac{u}{|u|}\right)^{2}\left(z-\left[-\dfrac{v}{u}\right]\right)}{\dfrac{\overline{v}{\color{red}\cancel{u}}}{\overline{u}{\color{red}\cancel{u}}}z+{\color{blue}\cancelto{1}{\dfrac{|u|^{2}}{|u|^{2}}}}}=\dfrac{\left(\dfrac{u}{|u|}\right)^{2}\left(z-\left[-\dfrac{v}{u}\right]\right)}{\overline{\left[\dfrac{v}{u}\right]}z+1}.\\ \end{align*} Ahora, para ciertos términos de la transformación de Möbius $\widetilde{T}$ usamos la siguiente notación: \begin{equation}\label{ec:termino_z_en_isometrias_disco} z_{0}=-\dfrac{v}{u}, \end{equation}

entonces \begin{equation}\label{ec:termino_z_conjugado_en_isometrias_disco} \overline{z_{0}}=-\overline{\left[ \dfrac{v}{u}\right]}. \end{equation} El complejo $\left(\dfrac{u}{|u|}\right)^{2}$ se encuentra sobre la circunferencia unitaria $S^{1}=\{z\in\mathbb{C}: |z|=1\},$ entonces lo podemos reescribir de la forma \begin{equation}\label{ec:termino_circunferencia_en_isometrias_disco} \left(\dfrac{u}{|u|}\right)^{2}=e^{i\theta}, \end{equation} para algún $\theta\in [0,2\pi).$ Finalmente, reemplazamos los términos descrito en las ecuaciones \eqref{ec:termino_z_en_isometrias_disco}, \eqref{ec:termino_z_conjugado_en_isometrias_disco} y \eqref{ec:termino_circunferencia_en_isometrias_disco} en la regla de asignación de la transformación de Möbius y, obtenemos \begin{equation}\label{ec:isom_plus_del_disco_de_Poincare} \widetilde{T}(z)=e^{i\theta}\dfrac{z-z_{0}}{1-\overline{z_{0}}z}, \end{equation} para algún $z_{0}\in\Delta$ y algún $\theta\in[0,2\pi).$ El hecho que $z_{0}\in\Delta,$ se dedice de la igualdad $|u|^{2}-|v|^{2}=1.$ Debido a que esta última relación implica \begin{align*} |u|^{2}&=1+ |v|^{2},\\ |u|^{2}&\lt |v|^{2},\\ \left|\dfrac{u}{v}\right|^{2}&\lt 1,\\ \left|\dfrac{u}{v}\right|&\lt 1,\\ |z_{0}|&\lt 1. \end{align*} Vamos a probar que efectivamente, los elementos que conforman ${\rm Isom}_{+}(\Delta)$ tiene la forma de la ecuación \eqref{ec:isom_plus_del_disco_de_Poincare}.

Toda transformación de Möbius de la forma \[ T(z)=e^{i\theta}\dfrac{z-z_{0}}{1-\overline{z_{0}}z}, \] con $\theta\in[0,2\pi)$ y $z_{0}\in \Delta,$ está en ${\rm Isom}_{+}(\Delta).$

Debemos probar que la transformación de Möbius $T,$ dada por \[ T(z)=e^{i\theta}\dfrac{z-z_{0}}{1-\overline{z_{0}}z}, \] con $\theta\in[0,2\pi)$ y $z_{0}\in \Delta,$ deja invariante el Disco de Poincaré. Es decir, $T(\Delta)=\Delta.$ Notemos que $T(\textbf{0})=\textbf{0},$ entonces solo debemos probar que \[ |T(z)|=1, \text{ para todo } z\in\partial \Delta. \] Entonces,

\begin{align*} |T(z)|&={\color{red}\cancelto{1}{|e^{i\theta}|}}\dfrac{|z-z_{0}|}{|1-\overline{z_{0}}z|}=\dfrac{|\overline{z}||z-z_{0}|}{|1-\overline{z_{0}}z|},\\ &=\dfrac{|{\color{blue}\cancelto{1}{\overline{z}z}}- \overline{z}z_{0}|}{|1-\overline{z_{0}}z|}=\dfrac{|1-\overline{z}z_{0}|}{|1-\overline{z_{0}}z|},\\ &=1. \end{align*}

Ahora, la composición \[ R_{\rm Im }=\psi\circ R_{\rm Im }\circ \psi^{-1}, \] también es un elemento del grupo de las isometrías del disco de Poincaré $\Delta.$ Del Teorema 13 (Capítulo 3) junto con el resultado anterior, sigue el grupo de isometrías del disco de Poincaré está generado por $R_{\rm Im}$ junto con los elementos de ${\rm Isom}_{+}(\Delta).$ Dicho en otras palabras.

Cualquier isometría del disco de Poincaré es un elemento de ${\rm Isom}_{+}(\Delta)$ o es de la forma \[ T(z)=e^{i\theta}\dfrac{\overline{z}-z_{0}}{1-\overline{z_{0}}\overline{z}}, \] con $\theta\in[0,2\pi)$ y $z_{0}\in \Delta.$

Área hiperbólica

En el plano complejo $\mathbb{C}$ el valor del área del paralelogramo $P$ formado por la base canónica $e_{1}$ y $e_{2}$ es \[ A(P)=\vert e_{1} \vert \, \vert e_{2} \vert \, {\rm sen} \left(\frac{\pi}{2}\right)=\vert e_{1} \vert \, \vert e_{2} \vert, \] siendo $\dfrac{\pi}{2}$ el valor del ángulo formado por los vectores de la base canónica. Dado el complejo $z\in\mathbb{C},$ sobre el plano tangente $T_{z}\mathbb{C}$ (isomorfo a $\mathbb{C}$) esta área se denota mediante \[ A(P)=dA= dx \, dy=dy\, dx. \] Usando la definición de la integral y el área del paralelogramos $P,$ podemos definir el área (euclidiana) de la región $K\subset \mathbb{C}$ como el valor \[ A(K)=\iint\limits_{K}dA, \] si existe. Vamos a extender estas ideas para definir el área hiperbólica de una región $K\subset\mathbb{H}.$

Dado el punto $z=x+iy\in\mathbb{H},$ entonces sobre el es espacio tangente $T_{z}\mathbb{H}$ el área hiperbólica del paralelogramo $P$ formado por la base canónica $e_{1}$ y $e_{2}$ es \begin{equation} A_h(P):=\Vert e_1 \Vert_{h} \, \Vert e_{2} \Vert_{h} \, {\rm sen} \left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\vert e_{1} \vert \, \vert e_{2} \vert }{\left({\rm Im}(z)\right)^{2}}=\frac{\vert e_1 \vert \, \vert e_{2} \vert}{y^2}=\dfrac{dA}{y^{2}}, \end{equation} siendo $\dfrac{\pi}{2}$ el valor del ángulo formado por los vectores $e_{1}$ y $e_{2}.$ Así, definimos el área hiperbólica de la región $K\subset \mathbb{H}$ como el valor \[ A_{h}(K)=\iint\limits_{K}\frac{dA}{\left({\rm Im}(z)\right)^{2}}, \] si existe, con $z\in K.$

Tomemos el cuadrado $K=[0,1]\times [1,2]$ en el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$ Del Teorema de Fubini se sigue que el área hiperbólica de $K$ es

\begin{equation*} \begin{split} A_h(K)&=\iint\limits_{K}\frac{dA}{\left({\rm Im}(z)\right)^{2}}=\int_{0}^{1}\int_{1}^2 \frac{dydx}{y^2}=\int_{0}^{1} \frac{-1}{y}\biggl|_{y=1}^{y=2}dx,\\ &=\int_{0}^{1}\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}.\\ \end{split} \end{equation*}

Tomemos la región $K=[0,1]\times (0,1]$ en el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$ Del Teorema de Fubini se sigue que el área hiperbólica de $K$ es

\begin{equation*} \begin{split} A_h(K)&=\iint\limits_{K}\frac{dA}{\left({\rm Im}(z)\right)^{2}}=\lim\limits_{t\to 0}\int_{t}^{1}\int_{0}^{1} \frac{dxdy}{y^2}=\lim\limits_{t\to 0}\int_{t}^{1} \frac{x}{y}\biggl|_{x=0}^{x=1}dy,\\ &=\lim\limits_{t\to 0}\int_{t}^{1}\frac{1}{y}dx=\lim\limits_{t\to 0}\left(\ln y\biggl|_{y=t}^{y=1}\right)=\lim\limits_{t\to 0} -\ln t,\\ &=\infty. \end{split} \end{equation*}

Los elementos de ${\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ dejan invariante el árae hiperbólica de cualquier paralelogramos $P$ del plano tangente $T_{z}\mathbb{H}.$ Más precisamente.

Dado el complejo $z\in\mathbb{C}$ y el paralelogramos $P$ sobre $T_{z}\mathbb{H}$ formado por los vectores $v,w\in T_{z}\mathbb{H}.$ Entonces para cualquier $T\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R}),$ el área hiperbólica de $P$ coincide con el área hiperbólica del paralelogramo $P'$ sobre $T_{T(z)}\mathbb{H},$ el cual está formado por los vectores $T'(z)\cdot v$ y $T'(z)\cdot w$ (véase Figura 5).

Dada la transformación de Möbius $T\in{\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ tal que \[ T(z)=\frac{az+b}{cz+d}, \] tenemos que el área hiperbólica del paralelogramo $P'\subset T_{T(z)}\mathbb{H}$ es

\begin{align*} A_{h}(P')&=\Vert T'(z)\cdot v \Vert_{h} \, \Vert T'(z)\cdot w \Vert_{h}=\dfrac{\vert T'(z)\cdot v \vert \, \vert T'(z)\cdot w \vert}{\left( {\rm Im}(T(z))\right)^{2}},\\ &\\ &=\dfrac{\vert T'(z)\vert \, \vert v \vert \, \vert T'(z) \vert \, \vert w \vert}{\left( {\rm Im}(T(z))\right)^{2}}= \dfrac{\vert T'(z)\vert \, \vert T'(z) \vert \, \vert v \vert \, \vert w \vert}{\left( {\rm Im}(T(z))\right)^{2}}. \end{align*}

Dado que la parte imaginaria de $T$ y su respectiva derivada compleja están dadas por

$$ \operatorname{Im}(T(z))=\dfrac{\operatorname{Im}(z)}{|cz+d|^2}\quad \text{ y }\quad T'(z)=\dfrac{1}{(cz+d)^{2}}, $$

entonces el área hiperbólica del paralelogramo $P'$ es

$$ \begin{align*} A_{h}(P')&=\dfrac{\dfrac{1}{|cz+d|^{2}}\, \dfrac{1}{|cz+d|^{2}}\, |v|\, |w|}{\left(\dfrac{\operatorname{Im}(z)}{|cz+d|^2}\right)^{2}}=\dfrac{|v|\, |w|}{\left(\operatorname{Im}(z)\right)^{2}},\\ &\\ &=A_{h}(P). \end{align*} $$

Vamos a verificar que el área hiperbólica de cualquier región en $\mathbb{H}$ es invariante bajo elementos de ${\rm PSL}(2,\mathbb{R}).$ Antes, recordemos el Teorema de Cambio de Variable para integrales dobles.

[Teorema de Cambio de Variable] Consideremos las regiones $D$ y $D^{\ast}$ en $\mathbb{R}^2$ y una aplicación biyectiva $T:D^{\ast}\to D$ de clase $C^{1},$ definida mediante \[ T(u,v)=(x(u,v),y(u,v)). \] Entonces para cualquier función integrable $f:D\to \mathbb{R}$ se satisface

\[ \iint\limits_{D} f(x,y)dxdy=\iint\limits_{D^{\ast}} f(x(u,v),y(u,v)) \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|dudv, \]

donde $\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$ es el determinante de la matriz Jacobiana asociada a la transformación $T.$

El área hiperbólica es invariante bajo elementos de ${\rm PSL}(2,\mathbb{R}).$ En otras palabras, si el área hiperbólica de la región $K\subset \mathbb{H}$ existe, entonces $A(K)=A(T(K)),$ para cada $T\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R}).$

Tomemos las transformación de Möbius $T\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ dada por \[ T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}, \] y la región $K$ en el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$ Veamos que se satisface la igualdad \[ A_h(K)=A_h(T(K)). \] Dado el número complejo $z=u+vi \in K,$ entonces la regla de asignación de transformación de Möbius $T$ la podemos reescribir mediante \[ T(u,v)=(x(u,v),y(u,v)), \] para algunas funciones $x,y:K\to\mathbb{R}.$ Como la función $T$ satisface las condiciones de Cauchy-Riemann, pues es holomorfa, entonces el determinante de la matriz Jacobiana asociada a $T$ en el punto $z=(u,v)$ está dada mediante

\begin{align*}\label{eq:determinante_jacobiano} \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|&= \left |\begin{matrix} \dfrac{\partial x}{\partial u}(u,v) & \dfrac{\partial x}{\partial v}(u,v) \\ &\\ \dfrac{\partial y}{\partial u}(u,v) & \dfrac{\partial y}{\partial v} (u,v) \end{matrix}\right|,\\ &\\ &= \left |\begin{matrix} \dfrac{\partial x}{\partial u}(u,v) & -\dfrac{\partial y}{\partial u}(u,v) \\ &\\ \dfrac{\partial y}{\partial u}(u,v) & \dfrac{\partial x}{\partial u} (u,v) \end{matrix}\right| = \left( \dfrac{\partial x}{\partial u}(u,v) \right)^2 +\left(\dfrac{\partial y}{\partial u}(u,v)\right)^2,\\ &\\ &=\left|\dfrac{\partial x}{\partial u}(u,v) +i \dfrac{\partial y}{\partial u}(u,v)\right|^2=\left|\frac{dT}{dz}(z)\right|^2=\frac{1}{|cz+d|^4}. \end{align*}

Ahora, consideremos la función integrable $f:T(K)\to \mathbb{R},$ definida mediante

\[ T(w=x+iy)= \frac{1}{\left({\rm Im}(w)\right)^{2}}=\frac{1}{y^{2}}. \]

Entonces del Teorema de Cambio de Variables para integrales se sigue que

$$ \begin{align*} A_h(T(K))&=\int_{T(K)}\frac{dxdy}{y^2}=\int_{K} \frac{1}{\left(\operatorname{Im}(T(z))\right)^{2}}\frac{1}{|cz+d|^4}dudv,\\ &\\ & =\int_{K}\frac{1}{\left(\dfrac{\operatorname{Im}(z)}{|cz+d|^2}\right)^{2}}\frac{1}{|cz+d|^4}dudv=\int_K \frac{1}{v^2}dudv,\\ &\\ &=A_h(K). \end{align*} $$

Teorema de Gauss-Bonnet

El Terorema de Gauss-Bonnet es un resultado interesante sobre superficies, el cual relaciona una cualidad geométrica (la curvatura) con una cualidad topólogica (la característica de Euler-Poincaré). Sin embargo, desde el punto de vista de la geometría hiperbólica, el teorema de Gauss-Bonnet está enunciado sobre los triángulos hiperbólicos y relaciona su área con la suma de la medida de sus respectivos ángulos.

Iniciaremos definiendo la noción de ángulo entre circunferencias ortogonales.

Tomemos las parametrizaciones $\gamma_{1},\gamma_{2}:[a,b]\to \mathbb{H}$ de dos líneas hiperbólicas que se intersectan en el punto $z\in\mathbb{H},$ es decir, existe un valor real $t\in[a,b]$ tal que $\gamma_{1}(t)=\gamma_{2}(t)=z.$ Los vectores tangentes $\gamma_{1}'(t)$ y $\gamma_{2}'(t)$ en el espacio tangente $T_z\mathbb{H}$ definen un ángulo (véase Figura 6), el cual llamaremos el ángulo de las líneas hiperbólicas $\gamma_{1}$ y $\gamma_{2}$ en el punto $z$.

La medida del ángulo formado por los vectores $\gamma'_{1}(t)$ y $\gamma'_{2}(t)$ es el valor $\pi-\theta$ donde $\theta\in [0,\pi]$ tal que

$$ \begin{align*} \langle \gamma'_{1}(t),\gamma'_{2}(t)\rangle_{h}^{\gamma(t)}&=\Vert \gamma'_{1}\Vert_{h}\, \Vert \gamma'_{2}(t)\Vert_{h}\, \cos\theta,\\ &\\ \dfrac{\gamma'_{1}\overline{\gamma'_{2}(t)}}{(\operatorname{Im}(\gamma(t)))^{2}}&=\dfrac{|\gamma'_{1}(t)|}{\operatorname{Im}(\gamma(t))}\dfrac{|\gamma'_{2}(t)|}{\operatorname{Im}(\gamma(t))}\cos \theta,\\ &\\ \langle \gamma'_{1}(t),\gamma'_{2}(t)\rangle_{c}&=|\gamma'_{1}(t)|\, |\gamma'_{2}(t)|\, \cos \theta. \end{align*} $$

Al removerle al plano hiperbólico $\mathbb{H}$ una línea hiperbólica $C,$ resultan dos subconjuntos conexos disjuntos $H_{1}$ y $H_{2}$ (véase Figura 7), los cuales son llamados semi espacios del plano hiperbólico $\mathbb{H}$.

Diremos que tres puntos distintos $z_1,$ $z_2$ y $z_3$ del plano hiperbólico son colineales, si existe una línea hiperbólica que los atraviece. Denotaremos mediante \[ \hat{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{\infty\}, \] a los reales extendidos, es decir, la recta real $\mathbb{R}$ junto con el punto $\infty.$

Tomemos tres puntos distinitos $z_{1},$ $z_{2}$ y $z_{3}$ en el plano hiperbólico junto con la recta real extendida $\mathbb{H}\cup \hat{\mathbb{R}}.$ Denotamos mediante $H_{i}$ al semi espacio que define la línea hiperbólica que pasa por los puntos $z_{j}$ y $z_{k}$ que contiene al punto $z_{i},$ con $i\neq j\neq k\in\{1,2,3\}.$ El triángulo hipérbolico con vértices $z_{1},z_{2}$ y $z_{2}$ \[ \Delta(z_{1},z_{2},z_{3}), \] es el conjunto $ H_{1} \cap H_{2} \cap H_{3}.$ Los lados del triángulo hiperbólico $\triangle(z_{1},z_{2},z_{3})$ son las geodésicas $[z_1,z_2],$ $[z_2,z_3]$ y $[z_3,z_1].$ Los ángulos $\alpha,$ $\beta$ y $\zeta$ del triángulo hiperbólico $\Delta(z_{1},z_{2},z_{3})$ son aquellos que definen los lados del triángulo en los vértices (complejos) $z_1,$ $z_2$ y $z_3,$ respectivamente.

Los triángulos hiperbólicos puede ser que tenga tres, dos, uno o ningún vértice sobre los reales extenditos $\hat{\mathbb{R}}$ (vease Figura 8).

[Gauss-Bonnet] Dado el triángulo hiperbólico $\triangle(z_{1},z_{2},z_{3})$ cuyos ángulos miden $\alpha,$ $\beta$ y $\zeta,$ entonces el área hiperbólica de dicho triángulo hiperbólico está dada por la fórmula. \[ A(\triangle(z_{1},z_{2},z_{3}))=\pi- (\alpha+\beta+\zeta). \]

Sobre el triángulo hiperbólico $\Delta(z_{1},z_{2},z_{3})$ debemos estudiar los siguientes casos. Caso (1) Uno de sus vértices está sobre los reales extendidos $\hat{\mathbb{R}}.$ Entonces la medida de uno de los ángulos del triángulo hiperbólico $\Delta(z_{1},z_{2},z_{3})$ es $0$ (véase Problema 28. Supongamos sin pérdida que dicho ángulo es $\zeta.$ Mediante una transformación de Möbius $T\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ enviamos:

(1) Los vértices del triángulo hiperbólico $\triangle(z_{1},z_{2},z_{3})$ que están en $\mathbb{H}$ sobre la circunferencia unitaria.
(2) Si es necesario usamos la transformación de Möbiuos $T(z)=\frac{-1}{z}$ tal que $T$ envíe el tercer vértice del triángulo hiperbólico $\triangle(z_{1},z_{2},z_{3})$ sobre $\infty$ (véase Figura 9).

Triángulo hiperbólico con vértice infty — Triángulo hiperbólico con vértice $\infty.$

Recordemos que la transformación de Möbius $T\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ deja invariante el área hiperbólica del triángulo hiperbólico $\triangle(z_{1},z_{2},z_{3})$ (véase Teorema 11), es decir, \[ A_{h}(\triangle(z_{1},z_{2},z_{3}))=A_{h}(T(\triangle(z_{1},z_{2},z_{3}))). \] Usando la integral, se tiene que el área hiperbólica del triángulo hiperbólico $T(\triangle(z_{1},z_{2},z_{3}))$ es

\begin{equation*} \begin{split} A_{h}(T(\triangle(z_{1},z_{2},z_{3})))&=\int_{a}^{b}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dydx}{y^2}=\int_{a}^{b}\left(\frac{-1}{y}\Big|_{y=\sqrt{1-x^2}}^{y=\infty}\right)dx,\\ &\\ &=\int_{a}^{b} \left(\lim_{y\to\infty} \frac{1}{y} +\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx. \end{split} \end{equation*}

Nótese que los ángulos $\angle A\textbf{0}a$ y $\angle B\textbf{0}b$ son congruentes a los ángulos $\alpha$ y $\beta.$ Entonces realizamos la sustitución trigonométrica en la anterior igualdad dada por \[ \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \sin \theta=x \quad \text{y} \quad dx=\cos \theta d\theta. \] Computamos y obtenemos

\begin{equation*} A_{h}(T(\triangle(z_{1},z_{2},z_{3})))=\int_{\alpha}^{\pi-\beta}\frac{\cos \theta}{\cos \theta}d\theta=\pi-\beta-\alpha. \end{equation*}

Caso (2) El triángulo hiperbólico $\triangle$ no tiene vértices sobre los reales extendidos $\hat{\mathbb{R}}.$ Por comodidad denotemos sus vértices mediante $A,$ $B$ y $C.$ Trazamos la circunferencia que pasa por los puntos $A$ y $C$; y denotamos mediante $x$ el extremo de dicha circunferencia ortogonal tal que $x\lt {\rm Re}(A)$ y $x\lt {\rm Re}(C)$ (véase Figura 10).

Triángulo hiperbólico con vértice sobre H — Triángulo hiperbólico con vértice sobre $\mathbb{H}.$

Del trazo de la circunferencia ortogonal obtenemos los tríangulos hiperbólicos $\triangle(x,B,C)$ y $\triangle(x,A,B)$ que tienen en común el vértice $x,$ el cual se encuentra sobre los reales extendidos $\hat{\mathbb{R}}.$ Adicionalmente, se tiene la siguiente relación de áreas hiperbólicas

\[ A_{h}(\triangle(A,B,C))=A_{h}(\triangle(x,B,C))-A_{h}(\triangle(x,B,A)). \]

Como el vértice $x$ se encuentra sobre los reales extendidos $\hat{\mathbb{R}},$ del Caso (1) se sigue que (en este caso, vamos a usar el símbolo ${\rm m}$ para denotar la medida un ángulo $\angle$)

\begin{equation}\label{ec:gauss_bonnet_caso_2} \begin{split} A_{h}(\triangle(A,B,C))&=A_{h}(\triangle(x,B,C))-A_{h}(\triangle(x,A,B)),\\ &\\ &=\pi- [{\rm m}(\angle xCB)+{\rm m}(\angle xBC)]-(\pi-[{\rm m}(\angle xAB)+{\rm m}(\angle xBA)]),\\ &\\ &={\color{blue}-{\rm m}(\angle xBC)+{\rm m}(\angle xBA)}-{\color{red}{\rm m}(\angle xCB)}+{\color{orange}{\rm m}(\angle xAB)}. \end{split} \end{equation}

De nuestra construcción se siguen las siguientes relaciones

(1) ${\rm m}(\angle xCB)={\rm m}(ACB).$
(2) ${\rm m}(\angle ABC)={\rm m}(\angle xBC)-{\rm m}(\angle xBA).$
(3) ${\rm m}(\angle xAB)=\pi-{\rm m}(\angle CAB).$

Sustituimos las anteriores realaciones en la ecuación \eqref{ec:gauss_bonnet_caso_2} y obtenemos:

\begin{equation*} \begin{split} A_{h}(\triangle(A,B,C))&=-{\rm m}(\angle ABC)-{\rm m}(\angle ACB)+\pi-{\rm m}(\angle BAC),\\ &\\ &=\pi-{\rm m}(\angle ABC)-{\rm m}(\angle ACB)-{\rm m}(\angle BAC). \end{split} \end{equation*}

Los casos restantes son consecuencias de los casos anteriores: Caso (3) Dos de sus vértices se encuentran sobre los reales extendidos. Caso (4) Los tres vértices se encuentran sobre los reales extendidos.

El área hiperbólica del triángulo hiperbólico con vértices $-1,$ $1$ y $\infty$ es $\pi.$ Así mismo el área hiperbólica del triángulo hiperbólico con vértices $-15,$ $15$ y $100$ es $\pi.$

Podemos extender la definición de triángulo hiperbólico a polígono hiperbólico y el Teorema de Gauss-Bonnet para estos objetos.

Consideremos $n$ puntos diferentes $z_1,\ldots,z_n$ sobre el plano hiperbólico junto con los reales extendidos $\mathbb{H}\cup \hat{\mathbb{R}},$ tal que $z_{i},z_{i+1}, z_{i+2}$ son no colineales para cada $i\in\{1,\ldots, n-2\}.$ El polígono hipérbolico con $n$ lados $P(z_{1},\ldots,z_{n})$ asociado a los puntos $z_1,\ldots,z_n$ en $\mathbb{H}\cup \hat{\mathbb{R}}$ es el interior de las siguienes uniones de las geodésicas \[ [z_1,z_2]\cup [z_2,z_3]\cup\ldots\cup [z_n,z_1], \] junto con su respectiva frontera. Los vértices del polígono hiperbólico $P(z_{1},\ldots,z_{n})$ son los puntos $z_{1},\ldots,z_{n}.$ Los lados del polígono hiperbólico $P(z_{1},\ldots,z_{n})$ son las geodésicas \[ [z_1,z_2],\ldots, [z_{n-1},z_n],[z_n,z_1], \] las cuales sin sus extremos son disjuntas por pares. Los ángulos $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ del polígnono hiperbólico $P(z_{1},\ldots,z_{n})$ son aquellos que definen sus lados en los vértices $z_1,\ldots, z_n,$ respectivamente.

[Gauss-Bonnet para polígonos hiperbólicos] Dado un polígono hiperbólico $P(z_{1},\ldots,z_{n})$ de $n\in\mathbb{N}$ lados cuyos ángulos miden $\theta_{1},\ldots,\theta_{n},$ entonces el área hiperbólica de dicho polígono hiperbólico está dada por la fórmula \[ A_{h}(P(z_{1},\ldots,z_{n}))=(n-2)\pi-\left(\sum_{i_1}^{n}\theta_{i} \right). \]

El vértice $z_{i}$ define el ángulo con medida $\theta_{i},$ para $i\in\{1,\ldots,n\}.$ Fijemos el vértice $z_{1}$ del polígono hiperbólico $P(z_{1},\ldots,z_{n})$ y trazamos las geodésicas $[z_1,z_i]$ con $i\in\{3,\ldots,n-1\}$ y así, descomponemos al polígono hiperbólico $P(z_{1},\ldots,z_{n})$ en $n-2$ triángulos hiperbólicos, los cuales denotamos mediante $\triangle_{1},\ldots \triangle_{n-2}.$ Cada triángulo hiperbólico $\triangle_{i},$ con $i\in\{1,\ldots,n-2\}$ tiene las siguientes propiedades:

(1) Sus vértices del triángulo son los puntos $z_{1},z_{i+1},z_{i+2}.$
(2) La medida del ángulo que define el vértice $z_{1}$ (respectivamente, los vértices $z_{i+1}$ y $z_{i+2}$ ) es $\alpha_{i}$ (respectivamente, $\beta_{i}$ y $\zeta_{i}$).
(3) Del Teorema de Gauss-Bonnet para triángulos hiperbólico se tiene que \[ A_{h}(\triangle_{i})=\pi-(\alpha_{i}+\beta_{i}+\zeta_{i}). \]

Observemos que el área hiperbólica del polígono $P(z_{1},\ldots,z_{n})$ es la suma de las áreas hiperbólicas de los $n-2$ triángulos hiperbólicos

$$ \begin{equation*} A_{h}(P(z_{1},\ldots,z_{n}))=\sum_{i=1}^{n-2}A_{h}(\triangle_i)=\sum_{i=1}^{n-2}(\pi-[\alpha_{i}+\beta_{i}+\zeta_{i}]),\\ \end{equation*} $$

$$ \begin{equation}\label{ec_gauss_bonnet_poligonos} =(n-2)\pi-\sum_{i=1}^{n-2}(\alpha_{i}+\beta_{i}+\zeta_{i}). \end{equation} $$

Por otro lado, tenemos las siguientes relaciones sobre los ángulos de los triángulos hiperbólicos construidos previamente

(1) Todos ellos tienen en común el vértice $z_{1},$ entonces \[ \theta_{1}=\sum_{i=1}^{n-2}\alpha_{i}. \]
(2) Los triángulos hiperbólico $\triangle_{i}$ y $\triangle_{i+1}$ tienen en común el vértice $z_{i+2},$ con $i\in\{1,\ldots,n-2\}.$ Entonces \[ \alpha_{i+2}=\zeta_{i}+\beta_{i+1}. \]
(3) En el triángulo hiperbólico $\triangle_{1}$ (respectivamente, $\triangle_{n-2}$) se tiene la relación $\beta_{1}=\theta_{2}$ (respectivamente, $\zeta_{n-2}=\theta_{n}$).

Reemplazando las anteriores relaciones en la ecuación (\ref{ec_gauss_bonnet_poligonos}) obtenemos la igualdad esperada

\[ A_{h}(P(z_{1},\ldots,z_{n}))=(n-2)\pi-\left(\sum_{i_1}^{n}\alpha_i \right). \]

Sobre el plano euclidiano llamamos rectángulo euclidiano a un polígono de cuatro lados cuyos ángulos miden $\dfrac{\pi}{2}.$ Sin embargo, en el plano hiperbólico no existen este tipo de objetos. Este hecho es consecuencia del Teorema de Gauss-Bonnet para polígonos hiperbólicos.

No existen polígonos hiperbólicos de cuatro lados cuyos ángulos miden $\dfrac{\pi}{2}.$

Supongamos que existe dicho polígono hiperbólico $P.$ Del Teorema de Gauss-Bonnet se sigue el área hiperbólica de dicho polígono es

\[ A_{h}(P)=(4-2)\pi-4\frac{\pi}{2}=0. \]

Esta igualdad implica que los vértices de $P$ son colineales.

Trigonometría hiperbólica

4.1.1. Trigonometría hiperbólica

El término clásico ángulo del paralelismo es usado para las relaciones trigonométricas aplicadas sobre los ángulos un triángulo hiperbólico $\triangle$ con ángulos de medida $\alpha, 0, \dfrac{\pi}{2}.$ Usando las transformaciones de Möbius en ${\rm PSL}(2,\mathbb{R}),$ podemos pensar que los vértices del triángulo hiperbólico $\triangle$ son $\infty, i$ y un complejo sobre la circunferencia unitaria (véase Figura 11). Notemos que el dicho triángulo hiperbólico $\triangle$ tiene un lado de medida hiperbólica finita.

[Ángulo de paralelismo] Consideremos el triángulo hiperbólico $\triangle$ con ángulos de medida $0,\dfrac{\pi}{2}, \alpha\neq 0.$ Denotemos mediante $b$ la medida del lado de $\triangle$ con extremos los vértices cuyos ángulos son $\alpha$ y $\dfrac{\pi}{2}.$ Entonces

(1) $\senh (b) \tan (\alpha)=1.$
(2) $\cosh(b)\sin(\alpha)=1.$
(3) $\tanh(b)\sec(\alpha)=1.$

Iniciaremos probando el inciso (2). Existe un elemento $T$ de ${\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ que envía el lado de longitud finita del triángulo $\triangle$ sobre la curva $x^2+y^2=1$ y los vértices de $\triangle$ son enviados sobre el conjunto $\{i, x_0+y_0i,\infty\}$ (véase Figura 11). Por construcción tenemos que la siguiente relación trigonométricas \begin{equation}\label{eq:caso1_teo_paralelismo} y_{0}={\rm sen} (\alpha). \end{equation} Dado que $b=\rho(i,x_{0}+y_{0}i),$ entonces del Lema 11 (Capítulo 3) se sigue que

\begin{equation} \begin{split} \cosh(b)&=\cosh(\rho(i,x_0+y_0i)) =1+\frac{|i-(x_0+y_0i)|}{2 {\rm Im}(i){\rm Im}(x_0+y_0i)},\\ &\\ &=1+\dfrac{|-x_{0}+(1-y_{0})i|}{2y_{0}}=1+\dfrac{x_{0}^{2}+(1-y_{0})^{2}}{2y_{0}},\\ &\\ &=\frac{2y_0+x_0^2+(1-y_0)^2}{2y_0}=\dfrac{2y_{0}+x_{0}^{2}+1-2y_{0}+y_{0}^{2}}{2y_{0}},\\ &\\ &=\frac{\cancelto{1}{x_0^2+y_0^2}+1}{2y_0}=\dfrac{\cancel{2}}{\cancel{2}y_{0}}=\dfrac{1}{y_{0}},\\ y_{0}\cosh(b)&=1.\\ \end{split} \end{equation}

Al sustituir la igualdad \eqref{eq:caso1_teo_paralelismo} en la igualdad anterior, obtenemos la relación esperada \[ {\rm sen}(\alpha)\cosh(b)=1. \] Ahora, probaremos el inciso (1). Recordemos la identidad trigonométrica

\begin{equation*} \senh (b)=2\senh\left(\frac{b}{2}\right)\cosh\left(\frac{b}{2}\right). \end{equation*} Dado que $b=\rho(i,x_{0}+y_{0}i),$ entonces la anterior expresión la reescribimos de la forma \begin{equation} \senh(b)=2 \senh\left( \dfrac{1}{2}\rho(i,x_{0}+y_{0}i)\right) \cosh\left( \dfrac{1}{2}\rho(i,x_{0}+y_{0}i)\right). \end{equation}

Del Lema 11 se sigue que la igualdad anterior es equivalente a

\begin{equation*} \begin{split} \senh(b) &=2\dfrac{|i-(x_{0}+y_{0}i)|}{2\left({\rm Im}(i){\rm Im}(x_{0}+y_{0})\right)^{1/2}}\dfrac{|i-\overline{x_{0}+y_{0}i}|}{2\left({\rm Im}(i){\rm Im}(x_{0}+y_{0})\right)^{1/2}},\\ &\\ &=\cancel{2}\frac{|-x_0+(1-y_{0})i)|}{\cancel{2}\cancel{\sqrt{y_0}}}\frac{|-x_0+(1+y_{0})i|}{2\cancel{\sqrt{y_0}}},\\ &\\ &=\frac{\sqrt{x_0^2+(1-y_0)^2}\sqrt{x_0^2+(1+y_0)^2}}{2y_0},\\ &\\ &=\dfrac{\sqrt{\cancelto{1}{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}-2y_{0}+1}\sqrt{\cancelto{1}{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}+2y_{0}+1}}{2y_{0}},\\ &\\ &=\frac{\sqrt{2-2y_0}\sqrt{2+2y_0}}{2y_0}=\frac{\sqrt{4-4y^2_0}}{2y_0},\\ &\\ &=\dfrac{\sqrt{4\cancelto{x_{0}^{2}}{(1-y_{0}^{2})}}}{2y_{0}}=\frac{\sqrt{4x_0^2}}{2y_0}=\dfrac{\cancel{2}x_{0}}{\cancel{2}y_{0}},\\ &\\ \senh(b)&=\dfrac{x_{0}}{y_{0}},\\ &\\ \senh(b)\frac{y_0}{x_0}&=1,\\ &\\ \senh(b)\tan(\alpha)&=1.\\ \end{split} \end{equation*}

La igualdad del inciso (3) se sigue de tomar el cociente entre las igualdades descritas en los incisos (1) y (2).

Al igual que en los triángulos euclidianos, en los triángulos hiperbólicos también se tienen la regla del seno y la regla del coseno. Recordemos que dado un triángulo euclidiano con vértices $A,$ $B$ y $C$ cuyos ángulos miden $\alpha,$ $\beta$ y $\zeta$ y, lados opuestos con medidas $a,$ $b$ y $c$ respectivamente, entonces se tienen las relaciones

(1) (Regla del seno) $\dfrac{\sen(\alpha)}{a}=\dfrac{\sen(\beta)}{b}=\dfrac{\sen(\zeta)}{c}.$
(2) (Regla del coseno) $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2ab\cos(\alpha).$

Consideremos el triángulo hiperbólico $\triangle(A,B,C)$ con vértices $A,B$ y $C$ cuyos ángulos miden $\alpha,$ $\beta$ y $\zeta$ (respectivamente) y, lados opuestos con medidas $a,$ $b$ y $c$ (respectivamente). Entonces se tienen las siguientes relaciones

(1) (Regla del seno) $\dfrac{\senh(a)}{\sen(\alpha)}=\dfrac{\senh(b)}{\sen(\beta)}=\dfrac{\senh(c)}{\sen(\gamma)}.$
(2) (Regla del coseno I) $\cosh(c)=\cosh(a)\cosh(b)-\senh(a)\senh(b)\cos(\zeta).$
(3) (Regla del coseno II) $\cosh(c)=\dfrac{\cos(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\zeta)}{\sen(\alpha)\sen(\beta)}.$

La regla del coseno II no tiene un análogo en la geometría euclidiana. En la geometría hiperbólica este caso implica que si dos triángulos hiperbólicos tienen los mismos ángulos, entonces existe una isometría que envía uno en el otro.

(Pitágoras) Si $\gamma=\frac{\pi}{2},$ entonces $\cosh(c)=\cosh(a)\cosh(b).$

Usaremos el modelo del disco de Poincaré $\Delta$ para probar el Teorema. Supongamos que $C=0$ y el vértice $A$ está sobre el eje real positivo. Del Teorema 5 se sigue que

\begin{equation}\label{eq:relacion_hiperbolica_tcos_1} \tanh\left(\frac{1}{2}\rho(0,A)\right)=\tanh\left(\frac{b}{2}\right)=\frac{|0-A|}{|1-0|}=|A|=A. \end{equation}

Por otro lado, tenemos que

\begin{equation}\label{eq:relacion_hiperbolica_tcos_2} \tanh\left(\frac{1}{2}\rho(0,B)\right)=\tanh\left(\frac{a}{2}\right)=|0-B|=|B|. \end{equation}

Además, $c=\rho(A,B),$ entonces

\begin{equation}\label{eq:relacion_hiperbolica_tcos_3} \senh^2\left(\frac{1}{2}\rho(A,B)\right)=\frac{|A-B|^2}{(1-|A|^2)(1-|B|^2)}. \end{equation}

De la identidad $\cosh(2x)=2\senh^2(x)+1$ la igualdad \ref{eq:relacion_hiperbolica_tcos_3} se reescribe como sigue

\begin{equation} \begin{split} \cosh(c)&=2\senh^2\left(\frac{c}{2}\right)+1\\ &=2\frac{|A-B|^2}{(1-|A|^2)(1-|B|^2)}+1\\ \end{split} \end{equation} De esta última expresión se sigue que \begin{equation}\label{eq:relacion_hiperbolica_tcos_4} |A-B|^2=\frac{(\cosh(c)-1)(1-|A|^2)(1-|B|^2)}{2}. \end{equation}

En el triángulo euclidiano con vértices $A,$ $B$ y $C$ se cumple la ley coseno

\begin{equation} |B-A|^2=|A|^2+|B|^2-2|A||B|\cos(\gamma). \end{equation}

Sustituimos la igualdad (\ref{eq:relacion_hiperbolica_tcos_4}) en la expresión anterior obtenemos

\begin{equation*} \begin{split} \frac{(\cosh(c)-1)(1-|A|^2)(1-|B|^2)}{2}&=|A|^2+|B|^2-2|A||B|\cos(\gamma). \end{split} \end{equation*}

Al simplificar, observamos que

\begin{equation*} \begin{split} \cosh(c)(1-|A|^2)(1-|B|^2)&=2|A|^2+2|B|^2-4|A||B|\cos(\gamma)+(1-|A|^2)(1-|B|^2),\\ &=|A|^2+|B|^2+|A|^2|B|^2+1-4|A||B|\cos(\gamma),\\ &=(1+|A|^2)(1+|B|^2)-4|A||B|\cos(\gamma).\\ \end{split} \end{equation*}

Finalmente, sustituimos las relaciones (\ref{eq:relacion_hiperbolica_tcos_1}) y (\ref{eq:relacion_hiperbolica_tcos_2}) en la igualdad anterior y obtenemos

\begin{equation*} \begin{split} \small\cosh(c)\left(1-\tanh^2\left(\frac{a}{2}\right)\right)\left(1-\tanh^2\left(\frac{b}{2}\right)\right)=&\left(1+\tanh^2\left(\frac{a}{2}\right)\right)\left(1+\tanh^2\left(\frac{b}{2}\right)\right)\\ &-4\tanh\left(\frac{a}{2}\right)\tanh\left(\frac{b}{2}\right)\cos(\gamma),\\ \end{split} \end{equation*}

\begin{equation} \begin{split} \frac{\cosh(c)}{\cosh^2\left(\frac{a}{2}\right)\cosh^2\left(\frac{b}{2}\right)}=&\frac{\left(\senh^2\left(\frac{a}{2}\right)+\cosh^{2}\left(\frac{a}{2}\right)\right) \left(\senh^2\left(\frac{b}{2}\right)+\cosh^{2}\left(\frac{b}{2}\right)\right)}{\cosh^2\left(\frac{a}{2}\right) \cosh^2\left(\frac{b}{2}\right)}\\ &-4\frac{\senh\left(\frac{a}{2}\right)\cosh\left(\frac{b}{2}\right)}{\cosh\left(\frac{a}{2}\right)\cosh\left(\frac{b}{2}\right)}\cos(\gamma),\\ \cosh(c)=&\cosh(a)\cosh(b)-\senh(a)\senh(b)\cos(\gamma). \end{split} \end{equation}

Ley del seno. De la ley del coseno I tenemos que \begin{equation} \cos(\gamma)=\frac{\cosh(a)\cosh(b)-\cosh(c)}{\senh(a)\senh(b)}. \end{equation} Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad y obtenemos

\begin{equation} \cos^2(\gamma)= \frac{\cosh^2(a) \cosh^2(b)-2\cosh(a)\cosh(b)\cosh(c)+\cosh^2(c)}{\senh^2(a)\senh^2(b)}\\ \end{equation}

De la identidad pitagórica $\sin^2(\gamma)+\cos^2(\gamma)=1$ se sigue que

\begin{equation} \begin{split} 1-\sin^2(\gamma)&= \frac{\cosh^2(a) \cosh^2(b)-2\cosh(a)\cosh(b)\cosh(c)+\cosh^2(c)}{\senh^2(a)\senh^2(b)}\\ \sin^2(\gamma)&=1-\frac{\cosh^2(a) \cosh^2(b)-2\cosh(a)\cosh(b)\cosh(c)+\cosh^2(c)}{\senh^2(a)\senh^2(b)}\\ {\small \sin^2(\gamma)}&={\small \frac{\senh^2(a)\senh^2(b)-\cosh^2(a) \cosh^2(b)+2\cosh(a)\cosh(b)\cosh(c)-\cosh^2(c)}{\senh^2(a)\senh^2(b)} }\\ \sin^2(\gamma)&=\frac{1-\cosh^2(a) -\cosh^2(b) -\cosh^{2}(c)+2\cosh(a)\cosh(b)\cosh(c)}{\senh^2(a)\senh^2(b)}\\ \end{split} \end{equation}

De esta última expresión se sigue

\begin{equation} \frac{\senh^2(c)}{\sin^2(\gamma)}=\frac{\senh^2(a)\senh^2(b)\senh^2(c)}{1-\cosh^2(a) -\cosh^2(b) -\cosh^{2}(c)+2\cosh(a)\cosh(b)\cosh(c)} \end{equation}

De la simetría de la ley del coseno se sigue que

\begin{equation} \frac{\senh^2(a)}{\sin^2(\alpha)}=\frac{\senh^2(a)\senh^2(b)\senh^2(c)}{1-\cosh^2(a) -\cosh^2(b) -\cosh^{2}(c)+2\cosh(a)\cosh(b)\cosh(c)} \end{equation}

\begin{equation} \frac{\senh^2(b)}{\sin^2(\beta)}=\frac{\senh^2(a)\senh^2(b)\senh^2(c)}{1-\cosh^2(a) -\cosh^2(b) -\cosh^{2}(c)+2\cosh(a)\cosh(b)\cosh(c)} \end{equation}

De estas últimas tres expresiones se sigue

\begin{equation} \frac{\senh(a)}{\sin(\alpha)}=\frac{\senh(b)}{\sin(\beta)}=\frac{\senh(c)}{\sin(\gamma)}. \end{equation}

Problemas

Probar que el producto interno canónico (usual) $\langle \,\, ,\, \rangle_{e}$ en $\mathbb{R}^2$ es efectivamente un producto interno.
Consideramos el espacio vectorial normado $(V, \langle \,\, ,\, \rangle)$ y el valor real positivo no nulo $r.$ Probar que \[ \langle \, \, ,\, \rangle_{r}:=\dfrac{\langle \,\, ,\, \rangle}{r^2} \] es un producto interno sobre $V.$
Consideramos el espacio vectorial normado $(V, \langle \,\, ,\, \rangle),$ prueba que el conjunto definido en la ecuación \eqref{eq:base_topologia_para_espacio_vectorial} es una base para una topología para $V.$
Dado el suconjunto abierto $u\subset\mathbb{C}$ y la función $\gamma:[a,b]\to U$ definida mediante \[ \gamma(t)=x(t)+iy(t), \] siendo $x$ y $y$ funciones real valuadas. Prueba que $\gamma$ es continua en $t_0\in[a,b],$ si y solo si, las funciones $x$ y $y$ son continuas en $t_{0}.$
Dado el subconjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$ y la curva $\gamma:[a,b]\to U.$ Probar que $\gamma^{\ast}$ la imagen o traza de $\gamma$ es un subconjunto cerrado, conexo y compacto de $\mathbb{C}.$
Consideremos el abierto $U\subset \mathbb{C}$ y la curva derivable a trozos $\gamma:[a,b]\to U.$ Prueba que si la derivada $\gamma'(t)=\textbf{0}$ para todo $t\in(a,b),$ entonces $\gamma$ es una curva constante.
Describe una función $\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}$ cuya traza sea la circuferencia con centro $z\in\mathbb{C}$ y radio $r>0.$
Prueba que la longitud hiperbólica de la curva $\gamma:[a,b]\to\mathbb{H}$ es invariante bajo parametrizaciones.
Dada la curva derivable a trozos $\gamma: [a,b]\to \mathbb{C},$ tal que \[ \gamma(t)=x(t)+iy(t), \] para cada $t\in[a,b].$ La longitud euclidiana de $\gamma$ está dada mediante
\[ \ell_{e}(\gamma):=\int\limits_{a}^{b} \Vert \gamma'(t) \Vert_{e} dt=\int\limits_{a}^{b} \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt. \]
La distancia euclidiana entre dos puntos $z$ y $w$ de $\mathbb{C},$ la cual denotaremos \begin{equation} \rho_e(z,w)=\inf\limits_{\gamma} \left\{\ell_{e}(\gamma)\right\} \end{equation} es el ínfimo de las longitudes euclidianas de las curvas derivables a trozos en $\mathbb{C}$ con puntos finales $z$ y $w.$ Prueba que la función $\rho_{e}: \mathbb{C}\times \mathbb{C}\to\mathbb{R},$ definida mediante \[ \rho_{e}(z,w)=\inf\limits_{\gamma}\left\{\ell_e (\gamma)\right\}, \] es una función distancia.
Consideremos el punto $z$ en el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ y un valor real $\varepsilon>0$ tal que la cerradura de la bola euclidiana $B_{\varepsilon}(z)$ está contenida en $\mathbb{H}$ i.e., $\overline{B_{\varepsilon}(z)} \subset \mathbb{H}.$ Prueba que la función $f:\overline{B_{\varepsilon}(z)}\to\mathbb{R},$ definida mediante \[ f(w)=\dfrac{1}{\text{Im}(w)}, \] es continua y diferenciable.
¿Cuál es el mínimo y máximo de la función $f$ definida en el Problema anterior?
Consideremos el plano complejo $\mathbb{C}$ con la topología que define la norma compleja (topología usual) y el semiplano superior $U=\left\{z\in\mathbb{C}: {\rm Im}(z)>0\right\}$ con la topología del subespacio. Responde las siguientes preguntas y argumenta tu respuesta.
1. ¿$U$ es convexo?
2. ¿$U$ es conexo?
3. ¿$U$ es localmente conexo?
4. ¿$U$ es abierto?
5. ¿$U$ es compacto?
6. ¿$U$ es localmente compacto?
7. ¿$U$ es cerrado?
8. ¿$U$ es completo con la métrica inducida por la norma compleja?
9. ¿Cuál es la cerradura de $U$ en $\mathbb{C}$?
10. ¿Cuál es la frontera de $U$ en $\mathbb{C}$?
Para todo $z_0\in\mathbb{H},$ prueba que la función $f_{z_0}:\mathbb{H}\to \mathbb{R},$ definida mediante \[ f_{z_0}(w)=\rho(z_0,w), \] es continua.
Prueba que $\mathbb{H}$ con la función distancia hiperbólica $ \rho$ es un espacio métrico completo.
Prueba que ${\rm Isom}(\mathbb{H})$ el conjunto de todas las isometrías del plano hiperbólico $\mathbb{H}$ bajo la operación composición forman un grupo.
Prueba que ${\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ es un subgrupo de ${\rm PSL}(2,\mathbb{C}).$
El estabilizador del complejo $z\in\mathbb{H}$ en el grupo ${\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ es el conjunto \[ G_{z}:=\left\{T\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R}): T(z)=z\right\}. \] Prueba:
- (1) El estabilizador $G_{z}$ es un subgrupo de ${\rm PSL}(2,\mathbb{R}),$ para todo $z\in\mathbb{H}.$
- (2) El estabilizador $G_{i}$ es isomorfo a $S^{1}=\{w\in\mathbb{C}:|w|=1\}$ la circunferencia unitaria compleja con el producto complejo.
Considere dos complejos diferentes $z\neq w$ sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$ Describir una función $\gamma$ cuya traza sea la circuferencia ortogonal al eje real y que pasa por los puntos $z$ y $w.$
Consideremos la reflexión con respecto al eje imaginario \[ R_{\rm Im}(z)=-\overline{z}. \] Prueba:
- (1) La función $R_{\rm Im}$ deja invariante el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$
- (2) La función $R_{\rm Im}$ envía líneas hiperbólicas sobre líneas hiperbólicas.
Para cualesquiera elementos $z,w\in\mathbb{H},$ verificar que las siguientes expresiones son invariantes bajo elementos de ${\rm PSL}(2,\mathbb{R})$:
- (1) $\dfrac{|z-w|}{2({\rm Im}(z){\rm Im}(w))^{1/2}}.$
- (2) $\dfrac{|z-\overline{w}|}{2({\rm Im}(z){\rm Im}(w))^{1/2}}.$
Para cualesquiera dos puntos $z,w$ sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H},$ verificar que se satisfacen las siguientes igualdades:
- (1) $\sinh \left(\dfrac{1}{2}\rho(z,w)\right)=\dfrac{|z-w|}{2\, ({\rm Im} (z) \, {\rm Im}(w))^{1/2}}.$
- (2) $\cosh \left(\dfrac{1}{2}\rho(z,w)\right)=\dfrac{|z-\overline{w}|}{2\,({\rm Im}(z) \, {\rm Im}(w))^{1/2}}.$
Consideremos la línea hiperbólica $C.$ Probar que existe un elemento $T\in{\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ tal que \[ T(z)=-\frac{1}{z-\alpha}+\beta \] para algunos $\alpha,\beta\in\mathbb{R},$ que envía $C$ sobre el eje imaginario.
Consideremos $\phi$ una isometría del plano hiperbólico $\mathbb{C},$ prueba que existe un elemento $T\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ tal que la composición $T\circ\phi$ fija el eje imaginario real.
Calcule el área hiperbólica del círculo euclidiano con centro en $2i$ y radio $1.$
Calcule el área hiperbólica de la región $\left\{z\in\mathbb{H}: |{\rm Re}(z)|\lt \frac{1}{2} \text{ y } |z|>1\right\}.$ Esta región es conocida como la curva modular.
Probar el Teorema 5. Más precisamente, verificar que para cualesquiera dos elementos $z,w$ sobre el disco de Poincaré $\Delta$ se satisfacen las siguientes igualdades:
- (1) $\sinh^{2}\left(\dfrac{1}{2}\rho(z,w)\right)=\dfrac{|z-w|^2}{(1-|z|^2)(1-|w|^2)}.$
- (2) $\cosh^{2}\left(\dfrac{1}{2}\rho(z,w)\right)=\dfrac{|1-z\overline{w}|^2}{(1-|z|^2)(1-|w|^2)}.$
- (3) $\tanh^2\left(\dfrac{1}{2}\rho(z,w)\right)=\dfrac{|z-w|}{|1-z\overline{w}|}.$
¿La reflexión con respecto al eje imaginario ${\rm R}_{\rm Im}$ preserva el área hiperbólica? Si tu respuesta es afirmativa, demuéstrala.
Supongamos que el triángulo hiperbólico $\triangle$ tiene uno de sus vértices sobre el eje real extendido $\hat{\mathbb{R}},$ entonces su ángulo mide cero grados.
Probar el teorema de Gauss-Bonnet para un triángulo hiperbólico $\triangle(A,B,C)$ para los siguientes dos casos:
- Caso (1) Dos de sus vértices se encuentran sobre los reales extendidos.
- Caso (2) Los tres vértices se encuentran sobre los reales extendidos.