Plano Hiperbólico

Los Elementos del griego Euclides (325 a. C. -265 a. C.) es el primer registro escrito, con el que cuenta la humanidad, de un sistema axiomático (véase Euclid 1926). Este escrito también ha sido una las obras más influyentes del pensamiento científico de la humanidad. Concretamente, los Elementos está compuesto por 13 libros, en los cuales el autor desarrolló los fundamentos de la geometría elemental, junto con algunos conceptos de la aritmética. Para edificar la geometría, el autor griego definió los objetos principales de la teoría: punto, recta, plano entre otros. Luego, basándose en la lógica, Euclides desarrolló unas leyes fundamentales sobre estos objetos (postulados o axiomas). Recordemos los primeros cinco de estos postulados.

Postulado I. Desde cualquier punto a cualquier otro punto se puede trazar una recta.

Postulado II. Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección.

Postulado III. Con cualquier centro y cualquier radio se puede trazar una circunferencia.

Postulado IV. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Postulado V. Si una recta al cortar a otras dos, forma de un mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectos.

El quinto postulado de Euclides llama la atención, pues a simple vista no parece intuitivo a la intuición geométrica; así que durante el siglo XIX se trató de demostrarlo a partir de los cuatro restantesSi el lector está interesado en conocer el desarrollo histórico de las geometrías no euclidianas le sugerimos consultar Santaló, 1976.. No hubo éxito, sin embargo, aparecieron afirmaciones equivalentes al postulado V. Enunciaremos algunas de ellas.

"Dos rectas paralelas son equidistantes."

Posido (I a. C.).

"Dos rectas paralelas a una tercera son siempre paralelas entre sí."

Proclo (412 - 485).

"Si tres puntos están de un mismo lado de una recta y equidistan de ella, los tres puntos pertenecen a una misma recta."

C. Clavius (1537-1612).

"Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela a dicha recta."

John Playfair (1748-1818).

"Por un punto cualquiera, tomado en el interior de un ángulo, se puede siempre trazar una recta que encuentre a los lados del ángulo."

L. M. Legendre (1752-1833).

"Dado un triángulo cualquiera existe siempre uno semejante de magnitud arbitraria."

J. Wallis (1616-1703).

"La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos."

G. Saccheri (1667-1733), J. H. Lambert (1728-1777), A. M. Legendre (1752-1833).

"Existen triángulos de áreas tan grande como se quiera."

K. F. Gauss (1777-1855).

Durante el siglo XIX floreció el siguiente razonamiento: Si el postulado V de Euclides es un "verdadero" postulado, el hecho de negarlo, aceptando los otros cuatro, no debería de conducir a contradicciones. Así, fue como el húngaro Johann Bolyai (1802-1860), el alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855), el ruso Nikolai Lobachevsky (1793-1856) y otros, descubrieron las geometrías no euclidianas.

Para construir la geometría hiperbólica dada por Lobachevsky necesitamos de cuatro ingredientes:

Un espacio ambiente (semiplano superior)
\[ U:=\left\{z\in\mathbb{C}: \operatorname{Im}(z)>0\right\}, \]
donde ocurre la geometría. Al semiplano superior $U$ lo dotaremos de una métrica (geométrica) Riemanniana hiperbólica $\mu_{h}$ y, a partir de ella induciremos una función distancia $\rho.$ El semiplano superior $U$ junto con esta métrica hiperbólica $\mu_{h}$ se le conoce como plano hiperbólico o plano de Lobachevsky $\mathbb{H}.$
El grupo de isometrías de $\mathbb{H},$ aquel grupo conformado de todas las biyecciones desde $\mathbb{H}$ hasta sí mismo que preservan la distancia $\rho.$
Los complejos que viven en $\mathbb{H}$ son los puntos y, a partir de la métrica Riemanniana $\mu_{h}$ descubriremos, para este caso, que las "líneas rectas" (serán llamadas líneas hiperbólicas) son las circunferencias ortogonales al eje real. Los postulados acá:
Postulados sobre $\mathbb{H}.$ Veremos que los puntos y las rectas están regidos bajo los primeros cuatro postulados de la geometría euclidiana. Además, es válida la negación del quinto postulado, es decir, es válido: dada una "línea recta" $\ell$ en $\mathbb{H}$ y un punto $p\in\mathbb{H}$ exterior a ella, entonces por el punto $p$ pasan infinitas "líneas rectas" de $\mathbb{H}$ que no intersectan a $\ell.$

Métrica Riemanniana hiperbolica

Dado el subconjunto abierto $U\subset \mathbb{C}$, el plano tangente asociado al complejo $z\in U$ es el espacio vectorial \[ T_{z}U:=\{z\}\times \mathbb{C}. \]

¡Importante! El espacio tangente $T_{z}U$ es isomorfo a $\mathbb{C}$ y, puede pensarse geométricamente como una copia del plano complejo tal que su cero $\mathbf{0}$ está pegado sobre el complejo $z.$

Una métrica Riemanniana $\mu$ para el abierto $U\subset\mathbb{C}$ es una correspondencia, la cual asocia a cada complejo $z\in U$ un producto interno $\langle\,\, , \,\rangle_{z}$ sobre el espacio tangente $T_{z} U,$ \begin{equation} \mu(z):=\langle \, \, , \, \rangle^{z} : T_{z}U \times T_{z}U \to \mathbb{C}. \end{equation} Además, esta asociación varía continua y diferenciablemente sobre los puntos de $U.$ Más precisamente, la función $g_{i,j} : U \to \mathbb{C},$ definida mediante \[ g_{i,j}(z):=\langle e_i , e_j \rangle_{z}, \] es diferenciable, para cada $i,j\in\{1,2\},$ donde el conjunto $\{ e_{1},e_{2}\}$ es la base usual (canónica) para $\mathbb{C}.$ El abierto $U$ dotado con esta métrica Riemanniana es llamado variedad Riemanniana.

Uno de los ejemplos clásicos, es la métrica Riemanniana euclidiana $\mu_{e}$ para el plano complejo $\mathbb{C},$ la cual asigna a cada complejo $z$ el producto punto usual sobre el plano tangente $T_{z}\mathbb{C},$

\begin{equation} \mu(z):=\langle \,\, , \, \rangle^{z}_{c} : T_{z}\mathbb{C}\times T_{z}\mathbb{C} \to \mathbb{C}. \end{equation}

Nótese que la función $g_{i,j} : \mathbb{C} \to \mathbb{C},$ dada por

\[ g_{i,j}(z)=\langle e_{i} , e_{j} \rangle^{z}_{c}=\delta_{i,j}, \]

es diferenciable, para cada $i,j\in\{1,2\},$ pues es la función constante.

Vamos a introducir la métrica Riemanniana hiperbólica.

La asignación $\mu_{h}$ sobre el semiplano superior \[ U=\{z\in\mathbb{C} : \operatorname{Im}(z)>0\}, \]

la cual corresponde a cada complejo $z\in U$ el producto interno \begin{equation}\label{ecuacion:metrica_riemanniana_hiperbolica} \mu_{h}(z):= \langle \, \, , \, \rangle_{h}^{z}= \dfrac{\langle \,\, , \, \rangle^{z}_{e}}{\left(\operatorname{Im}(z)\right)^2}, \end{equation} sobre el espacio tangente $T_{z}U,$ es una métrica Riemanniana. A dicha métrica Riemanniana se le conoce como hiperbólica.

Para completar la prueba debemos probar que satisfacen dos condiciones:

(1) Para cada $z\in U$ la función $\mu_{h}(z)$ es un producto interno sobre el espacio tangente $T_{z}U.$
(2) La función $g_{i,j}$ es diferenciable, para cada $i,j\in\{1,2\}.$

(1) La función $\mu_{h}(z)$ es un producto interno

Recordemos que el espacio tangente $T_{z}U$ es isomorfo al $\mathbb{R}$ espacio vectorial $\mathbb{C}$ y, la función $\langle \,\, , \, \rangle^{z}_{e}$ es un producto interno sobre $T_{z}U.$ Del Problema 2 se sigue que la función $\langle \,\, ,\,\rangle_{h}^{z}: T_{z}U\times T_{z}U\to\mathbb{C}$ dado por

\[ \langle z_{1},z_{2}\rangle_{h}^{z}:=\dfrac{\langle z_{1} , z_{2} \rangle_{c}^{z}}{(\operatorname{Im}(z))^2}, \]

es también un producto interno.

(2) Diferenciabilidad de la función $g_{i,j}$

Si consideramos la base canónica $\{e_1,e_2\}$ para $\mathbb{C},$ tenemos que para cualesquiera $i,j\in\{1,2\},$ la función $g_{i,j}: U \to \mathbb{C}$ dada por

\[ g_{i,j}(z)=\dfrac{\langle e_i , e_j \rangle_{c}^{z}}{\left(\operatorname{Im}(z)\right)^2}=\dfrac{\delta_{i,j}}{\left(\operatorname{Im}(z)\right)^2}, \]

es diferenciable. Esta afirmación es cierta, porque las entradas de la matriz Jacobiana

\[ D_{z} g_{i,j}=\left(0, \frac{-2 \delta_{i,j}}{(\operatorname{Im}(z))^3}\right), \]

son continuas en $U,$ entonces el Teorema de la Condición suficiente de diferenciabilidad de una función vectorial nos garantiza que $g_{i,j}$ es diferenciable.

El plano hiperbólico o plano de Lobachevsky $\mathbb{H},$ es el semiplano superior equipado con la métrica Riemanniana hiperbólica $\mu_{h}.$ El plano tangente asociado a cada $z$ sobre el plano hiperbólico será denotado mediante $T_{z}\mathbb{H}.$

Recordemos que un producto interno proporciona una manera de medir vectores (norma), esto implica que, el producto interno $\mu_{z}$ nos proporciona una norma del vector $w$ en el espacio tangente $T_z\mathbb{H},$ para cada $z\in \mathbb{H}.$

La norma hiperbólica del vector $w$ en el espacio tangente $T_{z}\mathbb{H}$ está dada mediante \begin{equation}\label{eq:norma_hiperbolica} \Vert w \Vert_{h}:=\sqrt{\langle w,w \rangle_{h}}=\sqrt{\dfrac{\langle w, w\rangle_{c}^{z}}{\left(\operatorname{Im}(z)\right)^{2}}}=\dfrac{\sqrt{\langle w, w\rangle_{c}^{z}}}{\operatorname{Im}(z)}=\dfrac{\vert w \vert}{\operatorname{Im}(z)}. \end{equation}

Curiosidad Si fijamos un vector $w$ sobre espacios tangentes de puntos que se acercan al eje real, entonces la norma hiperbólica de dicho vector se hace tan grande como se quiera. Por ejemplo, consideremos los complejos en el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ que se encuentran sobre el segmento de línea recta

\[ I=\left\{z=it: t\in (0,1]\right\}. \]

Ahora, consideremos el vector $w=i$ en el espacio tangente $T_{z}\mathbb{H},$ para cada $z\in I.$ Entonces la norma hiperbólica de $w$ crece a medida que $z$ se acerca al origen $\mathbf{0}.$ Estudiemos esta afirmación con los siguientes casos:

$\ast$ Para $t=1,$ tomamos el complejo $z=i\in I,$ entonces la norma hiperbólica del vector $w=i$ en el espacio tangente $T_{z}\mathbb{H}=T_{i}\mathbb{H}$ es
\[ \Vert i \Vert_{h}:=\sqrt{\langle i,i \rangle_{h}}=\sqrt{\dfrac{\langle i, i\rangle_{c}^{i}}{\left(\operatorname{Im}(i)\right)^{2}}}=\dfrac{\sqrt{\langle i, i\rangle_{c}^{i}}}{\operatorname{Im}(i)}=\dfrac{\vert i \vert}{\operatorname{Im}(i)}=\frac{1}{1}=1. \]
$\ast$ Para $t=1/2,$ tomamos el complejo $z=i/2\in I,$ entonces la norma hiperbólica del vector $w=i$ en el espacio tangente $T_{z}\mathbb{H}=T_{i/2}\mathbb{H}$ es
\[ \Vert i \Vert_{h}:=\sqrt{\langle i,i \rangle_{h}}=\sqrt{\dfrac{\langle i, i\rangle_{c}^{i/2}}{\left(\operatorname{Im}(i/2)\right)^{2}}}=\dfrac{\sqrt{\langle i, i\rangle_{c}^{i/2}}}{\operatorname{Im}(i/2)}=\dfrac{\vert i \vert}{\operatorname{Im}(i/2)}=\frac{1}{1/2}=2. \]

Norma hiperbólica del vector $i\in T_{i}U.$
$\ast$ Para $t=1/n,$ con $n\in\mathbb{N},$ tomamos el complejo $z=i/n\in I,$ entonces la norma hiperbólica del vector $w=i$ en el espacio tangente $T_{z}\mathbb{H}=T_{i/n}\mathbb{H}$ es
\[ \Vert i \Vert_{h}:=\sqrt{\langle i,i \rangle_{h}}=\sqrt{\dfrac{\langle i, i\rangle_{c}^{i/n}}{\left(\operatorname{Im}(i/n)\right)^{2}}}=\dfrac{\sqrt{\langle i, i\rangle_{c}^{i/n}}}{\operatorname{Im}(i/n)}=\dfrac{\vert i \vert}{\operatorname{Im}(i/n)}=\frac{1}{1/n}=n. \]

Norma hiperbólica del vector $i\in T_{i/2}U.$

A medida que $n$ se acerca a $\infty$ la norma hiperbólica del vector $i$ también se acerca a $\infty,$ es decir,

\[ \lim\limits_{n\to \infty} \Vert i \Vert_{h}=\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{\dfrac{\langle i, i\rangle_{c}^{i/n}}{\left(\operatorname{Im}(i/n)\right)^{2}}}=\lim\limits_{n\to \infty } n=\infty. \]

Curva y norma hiperbólica

3.1.1. Curva y norma hiperbólica

A partir de la norma vamos a definir la longitud hiperbólica de una curva derivable a trozos en $\mathbb{H}.$ Vamos a dar un corto paseo por el concepto de curva.

Una curva en el abierto $U\subset\mathbb{C}$ es una función continua $\gamma$ desde un intervalo cerrado $[a,b]$ (el intervalo puede también considerarse abierto) hasta $U.$ Dicha curva $\gamma$ está dada por \[ \gamma(t)=x(t)+iy(t), \] donde $x$ y $y$ son funciones real valuadas. Los puntos $\gamma(a)$ y $\gamma(b)$ en $U$ son llamados los extremos o puntos finales de la curva $\gamma.$ Si los extremos de la curva $\gamma$ coinciden, es decir $\gamma(a)=\gamma(b)$ se dice que la curva $\gamma$ es cerrada. La imagen del intervalo cerrado $[a,b]$ bajo $\gamma$ se llama curva imagen o traza de $\gamma$ y será denotada mediante $\gamma^{\ast}.$

Además, diremos que la curva $\gamma$ es derivable en el punto $t_0\in (a,b)$ si existe el límite

\[ \lim_{t\to t_0} \frac{\gamma(t)-\gamma(t_0)}{t-t_0} =\lim_{t\to t_0}\frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}+i \left(\lim_{t\to t_0}\frac{y(t)-y(t_0)}{t-t_0}\right). \]

En caso de existir dicho límite lo denotaremos mediante

\[ \gamma'(t_0)=\lim_{t\to t_0}\frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}+i\left( \lim_{t\to t_0}\frac{y(t)-y(t_0)}{t-t_0}\right)=x'(t_0)+iy'(t_0) \]

y lo llamaremos la derivada de $\gamma$ en el punto $t_{0}$.

Así mismo, la derivada $\gamma'(a)$ y $\gamma'(b)$ existe cuando el límite apropiado a un lado existe e.g.,

\[ \gamma'(a)=\lim_{t\to a^{+}} \frac{\gamma(t)-\gamma(a)}{t-a} =\lim_{t\to a^{+}}\frac{x(t)-x(a)}{t-a}+i\left( \lim_{t\to a^{+}}\frac{y(t)-y(a)}{t-a}\right). \]

Geométricamente, la derivada $\gamma'(t_{0})$ es el vector tangente de la curva $\gamma$ en el punto $t_{0}.$ Además, dicho vector tangente $\gamma'(t_{0})$ está en el espacio tangente $T_{\gamma(t_{0})}U.$

Diremos que la curva $\gamma$ es derivable a trozos si existe una cantidad finita de puntos $a=t_1\lt t_2\lt \ldots\lt t_{n-1}\lt t_n=b$ en el intervalo $[a,b]$ tal que $\gamma'(t_0)$ la derivada de $\gamma$ en cada punto $t_0\in (t_i,t_{i+1})$ existe, con $i\in\{1,\ldots,n-1\}.$

Estudiemos los siguientes dos ejemplos de curvas en el plano hiperbólico $\mathbb{H}$.

Dados los reales positivos $a,b\in \mathbb{R}$ tal que $0\lt a\lt b,$ entonces la función $\gamma: [a,b]\to \mathbb{H},$ definida mediante \[ \gamma(t):=it, \]

satisface las siguientes propiedades:

(1) La función $\gamma$ es una curva, porque las funciones real valuadas dadas por $x(t)=0$ y $y(t)=t$ con $t\in[a,b]$ son continuas.
(2) La traza de $\gamma$ es el segmento de línea recta euclidiano en $\mathbb{H}$ con extremos los puntos $ai$ y $bi,$ \[ \gamma^{\ast}=\left\{z\in\mathbb{H}: \operatorname{Re}(z)=0 \text{ y } a\leq \operatorname{Im}(z) \leq b\right\}. \]
(3) Para todo $t\in [a,b],$ el vector tangente a la curva $\gamma$ en el punto $t$ es \[ \gamma'(t)=i\in T_{\gamma(t)}\mathbb{H}=T_{it}\mathbb{H}. \] Su norma hiperbólica es
\[ \|\gamma'(t)\|_{h}=\sqrt{\langle \gamma'(t),\gamma'(t)\rangle}_{h}=\dfrac{\sqrt{\langle \gamma'(t),\gamma'(t)\rangle_{c}^{\gamma(t)}}}{\operatorname{Im}(\gamma(t))}=\dfrac{\vert \gamma'(t) \vert}{\operatorname{Im}(\gamma(t))}=\dfrac{\vert i \vert}{\operatorname{Im}(it)}=\frac{1}{t}. \]

Curva $\gamma(t)= it.$

La función $\gamma: (0,\pi)\to \mathbb{H},$ definida mediante \[ \gamma(t):=e^{it}=\cos(t)+i\operatorname{sen}(t), \]

satisface las siguientes propiedades.

Curva gamma exp — Curva $\gamma(t)= e^{it}.$

(1) La función $\gamma$ es una curva, porque las funciones real valuadas dadas por $\cos(t)$ y $\operatorname{sen}(t)$ con $t\in(0,\pi)$ son continuas.
(2) La traza de $\gamma$ es el segmento de curva (superior) de la circunferencia con centro el origen y radio $1,$ \[ \gamma^{\ast}=\left\{z\in\mathbb{H}: z=e^{it} \text{ y } 0 \leq t\leq \pi \right\}. \]
(3) Para todo $t\in (0,\pi),$ el vector tangente a la curva $\gamma$ en el punto $t$ es \[ \gamma'(t)=i e^{it}\in T_{\gamma(t)}\mathbb{H}=T_{e^{it}}\mathbb{H}. \] Su norma hiperbólica es \[ \|\gamma'(t)\|_{h}=\dfrac{\vert \gamma'(t) \vert}{\operatorname{Im}(\gamma(t))}=\dfrac{\vert i e^{it} \vert}{\operatorname{Im}(e^{it})}=\frac{1}{\operatorname{sen}(t)}. \]

Longitud de curva y distancia hiperbólica

3.1.2. Longitud de curva y distancia hiperbólica

Una ventaja de esta norma, es que tenemos la posibilidad de definir una forma para determinar la longitud hiperbólica de una curva derivable a trozos en el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$ A su vez, la longitud hiperbólica nos provee de una función distancia (métrica) para $\mathbb{H}.$

Dada la curva derivable a trozos $\gamma: [a,b]\to \mathbb{H},$ tal que \[ \gamma(t)=x(t)+iy(t), \]

la longitud hiperbólica de $\gamma$ está dada mediante

\[ \ell_{h}(\gamma):=\int_{a}^{b} \Vert \gamma'(t) \Vert_{h} dt=\int_{a}^b \dfrac{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}{y(t)}dt=\int_{a}^{b} \dfrac{\vert \gamma '(t) \vert}{y(t)}dt. \]

La distancia hiperbólica entre dos puntos $z$ y $w$ del plano hiperbólico $\mathbb{H},$ la cual denotaremos mediante

\begin{equation}\label{ec:longitud_hiperbolica_entre_z_w} \rho(z,w)=\inf_{\gamma} \left\{\ell_h(\gamma)\right\}, \end{equation}

es el ínfimo de las longitudes hiperbólicas de las curvas derivables a trozos en $\mathbb{H}$ con puntos finales $z$ y $w.$

La longitud hiperbólica de la curva $\gamma: [a,b]\to \mathbb{H},$ véase Ejemplo 1, definida mediante \[ \gamma(t):=it, \] es

\[ \begin{aligned} \ell_h(\gamma)&=\int_{a}^{b} \|\gamma'(t)\|_h dt=\int_{a}^{b}\dfrac{\vert \gamma'(t) \vert}{\operatorname{Im}(\gamma(t))}dt=\int_{a}^{b}\dfrac{\vert i \vert}{\operatorname{Im}(it)},\\ &=\int_{a}^{b} \frac{1}{t}dt=\ln (t) \biggm|_{a}^{b}=\ln \left(\frac{b}{a}\right). \end{aligned} \]

Consideremos los complejos puros $ai$ y $bi$ tal que $0\lt a\lt b,$ vamos a verificar que distancia hiperbólica entre dichos complejos es \[ \rho(ai,bi)=\ln\left(\frac{b}{a}\right). \]

El lector puede verificar que este logaritmo a la derecha en la igualdad anterior, corresponde a la longitud hiperbólica de la curva $\gamma$ dada en el Ejemplo 3.

Ahora, consideremos una curva diferenciable a trozos $\beta:[a_{1},b_{1}]\to \mathbb{H},$ definida mediante

\[ \beta(t)=x(t)+iy(t), \]

tal que sus extremos satisfacen $\beta(a_{1})=ai$ y $\beta(b_{1})=bi.$ Probaremos que la longitud hiperbólica de $\beta$ es mayor o igual que el valor $\ln\left(\dfrac{b}{a}\right)$ i.e.,

\[ \ell_{h}(\gamma) = \ln\left(\frac{b}{a}\right)\leq \ell_{h}(\beta). \]

Como $\beta$ es una curva arbitraria, entonces

\[ \rho(ai,bi)\leq \ell_{h}(\beta). \]

Por otro lado, la longitud hiperbólica de la curva $\beta$ está dada mediante

\[ \ell_{h}(\beta)=\int_{a_1}^{b_1}\Vert \beta'(t)\Vert_{h}dt=\int_{a_1}^{b_1} \dfrac{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}{y(t)}dt. \]

Recordemos que para cualesquiera reales $x,y\in \mathbb{R}$ se satisface la desigualdad

\[ y \leq \sqrt{x^2+y^2}. \]

Dado que $y(t)>0$ para todo $t\in [a_{1},b_{1}],$ entonces se satisface

\[ \dfrac{y'(t)}{y(t)}\leq \dfrac{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}{y(t)}, \]

para cada $t\in[a_{1},b_{1}].$ Usando las propiedades de la integral se sigue que

\[ \begin{aligned} \int_{a_{1}}^{b_{1}}\dfrac{y'(t)}{y(t)} &\leq \int_{a_{1}}^{b_{1}} \dfrac{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}{y(t)}dt,\\ \ln(y(t))\biggm|^{b_{1}}_{a_{1}} &\leq \ell_{h}(\beta),\\ \ln\left(\frac{y(b_{1})}{y(a_{1})}\right) &\leq \ell_{h}(\beta),\\ \ln\left(\frac{b}{a}\right) &\leq \ell_{h}(\beta). \end{aligned} \]

Dado que la curva $\beta$ fue arbitraria, entonces la anterior desigualdad implica que la longitud hiperbólica de cualquier curva diferenciable a trozos $\beta$ con extremos los complejos $ai$ y $bi$ es mayor o igual a la longitud hiperbólica de $\gamma,$ es decir

\[ \rho(ai,bi)=\ln\left(\frac{b}{a}\right)=\ell_{h}(\gamma)\leq \ell_{h}(\beta), \]

donde $\gamma$ tiene como traza el segmento de línea recta en $\mathbb{H}$ con extremos $ai$ y $bi.$

La función $\rho: \mathbb{H}\times \mathbb{H}\to\mathbb{R},$ definida mediante \begin{equation}\label{eq:distancia_hiperbolica_teorema} \rho(z,w)=\inf_{\gamma}\left\{\ell_h (\gamma)\right\} \end{equation}

es una métrica (función distancia), es decir, la función $\rho$ satisface las siguientes propiedades:

(1) Para cada $z,w\in\mathbb{H}$ se cumple $0\leq \rho (z,w) \lt \infty$ (Definida positiva).
(2) Dados los puntos $z,w\in\mathbb{H},$ $\rho(z,w)=0$ si y solo si $z=w.$
(3) Para cada $z,w\in\mathbb{H}$ se cumple $\rho(z,w)=\rho(w,z)$ (Simetría).
(4) Para cada $z,w,v$ se cumple $\rho(z,w)\leq \rho(z,v)+\rho(v,w)$ (Desigualdad triangular).

La función $\rho$ es llamada distancia hiperbólica sobre $\mathbb{H}.$

Definida positiva. Tomemos los complejos $z,w\in\mathbb{H}$ y veamos que se satisface la desigualdad \[ 0\leq \rho (z,w) \lt \infty. \]

Basta considerar una curva derivable a trozos $\gamma:[a,b]\to \mathbb{H}$ con extremos $z$ y $w$ y verificar la desigualdad $0\leq \ell_h(\gamma)\lt \infty.$ Asumamos que

\[ \gamma(t)=x(t)+iy(t), \]

para algunas funciones continuas real valuadas $x$ y $y.$ De las propiedades de la norma hiperbólica se sigue que

\begin{equation}\label{eq:desigualdad_propiedad_1_funcion_distancia_hiperbolica} 0\leq \Vert \gamma'(t)\Vert_h=\frac{\sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}}{y(t)}<\infty, \end{equation}

para cada $t\in [a,b].$ Aplicando las propiedades de la integral a la expresión anterior se sigue que

\[ 0\leq \int_{a}^{b} \Vert \gamma'(t)\Vert_h dt=\int_{a}^{b}\frac{\sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}}{y(t)}dt \lt \infty. \]

Propiedad (2). Verifiquemos la condición suficiente. Tomemos los complejos $z,w\in\mathbb{H}$ tal que $z=w$ y veamos que

\[ \rho(z,w)=0. \]

Así, definimos la curva constante $\gamma:[0,1]\to \mathbb{H},$ dada por

\[ \gamma(t)=z, \]

la cual tiene las siguientes propiedades:

(a) Sus extremos son los complejos $z$ y $w.$
(b) Es derivable.
(c) Su longitud hiperbólica es $\ell_{h}(\gamma)=0.$

De la propiedad anterior se sigue que $\rho(z,w)=0.$

Probemos la condición necesaria. Procederemos por contradicción. Supongamos que existen dos complejos distintos $z\neq w$ en $\mathbb{H}$ tal que $\rho(z,w)=0.$ Como $\mathbb{H}$ es un espacio Hausdorff con la topología del subespacio inducida por $\mathbb{C},$ entonces existe un real $\varepsilon>0$ tal que la cerradura de la bola euclidiana $B_{\varepsilon}(z)$ está contenida en $\mathbb{H}$ y no contiene al punto $w.$ La función $f:\overline{B_{\varepsilon}(z)}\to \mathbb{R},$ definida mediante

\begin{equation}\label{eq:propiedad_simetria_funcion_distancia_hiperbolica} f(z)=\frac{1}{\operatorname{Im}(z)}, \end{equation}

es continua. Dado que $f$ es una función continua definida desde un subespacio compacto de $\mathbb{H},$ entonces existe un valor real positivo no nulo $m$ tal que

\[ 0\neq m\leq f(z), \]

para todo $z\in \overline{B_{\varepsilon}(z)}.$

Por otro lado, consideremos $\gamma:[a,b]\to \mathbb{H}$ una curva derivable a trozos con las siguientes propiedades:

(a) Sus puntos finales son $z$ y $w.$
(b) Existe un punto $t_0\in(a,b)$ tal que $\gamma(t_0)$ está en la frontera de la bola $B_{\varepsilon}(z).$
(c) La imagen $\gamma([a,t_0))$ está contenida en la bola $B_{\varepsilon}(z).$

Al evaluar la función $f$ en los puntos de la imagen $\gamma([a,t_0)),$ se sigue que

\[ \begin{aligned} m &\leq \frac{1}{\operatorname{Im}(\gamma(t))},\\ m \vert \gamma'(t)\vert &\leq \frac{\vert \gamma'(t)\vert}{\operatorname{Im}(\gamma(t))}=\Vert \gamma'(t)\Vert_{h}, \end{aligned} \]

para todo $t\in[a,t_0].$ Usando las propiedades de la integral y el hecho que la distancia euclidiana entre los puntos $z$ y $v$ es $\Vert z-v\Vert_{e},$ entonces obtenemos

\begin{equation} \begin{split} m\int\limits_{a}^{t_{0}} \vert \gamma'(t)\vert dt &\leq \int\limits_{a}^{t_{0}} \frac{\vert \gamma'(t)\vert}{Im(\gamma(t))}dt,\\ 0 \lt m\varepsilon=m \vert z-\gamma(t_0)\vert \leq m\int\limits_{a}^{t_{0}} \vert \gamma'(t)\vert dt&\leq \int\limits_{a}^{t_{0}} \frac{\vert \gamma'(t)\vert}{Im(\gamma(t))}dt\leq \int\limits_{a}^{b}\Vert \gamma'(t)\Vert_{h}dt=\ell_{h}(\gamma), \end{split} \end{equation}

Dado que la curva $\gamma$ la tomamos arbitrariamente, entonces

\[ 0 \lt m\varepsilon \lt \rho(z,w)=\inf_{\gamma}\{\ell_h(\gamma)\}. \]

Sin embargo, este hecho es una contradicción, pues asumimos que $\rho(z,w)=0.$

Simetría. Consideramos la curva derivable a trozos $\gamma:[a,b]\to \mathbb{H}$ con puntos extremos $z$ y $w,$ tal que

\[ \gamma(t)=x(t)+iy(t). \]

Entonces definimos la curva opuesta de $\gamma$ como $-\gamma: [a,b]\to \mathbb{H},$ tal que

\[ -\gamma(t):=\gamma(b+a-s)=x(b+a-s)+iy(b+a-s). \]

Notemos que la curva opuesta $-\gamma$ tiene puntos finales $w$ y $z.$ Ahora, tomamos la igualdad $t=b+a-s$ y aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena para obtener

\[ \begin{aligned} \ell_h(-\gamma)&=\int_{a}^{b}\dfrac{\sqrt{\left(x'(b+a-s)\right)^2+\left(y'(a+b-s)\right)^2}}{y(a+b-s)}ds,\\ &=\int_{s(b)=a}^{s(a)=b}\dfrac{\sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}}{y(t)}(-1)dt,\\ &=\int_{b}^{a}\dfrac{\sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}}{y(t)}dt,\\ &=\ell_h(\gamma). \end{aligned} \]

De esta última igualdad se sigue

\begin{equation}\label{eq:sigma1} \rho(w,z)\leq \inf_{\gamma}\left\{\ell_h(-\gamma)\right\}=\rho(z,w). \end{equation}

Análogamente, si $\sigma$ es una curva derivable a trozos en $\mathbb{H}$ con puntos finales $w$ y $z,$ entonces

\begin{equation}\label{eq:sigma2} \rho(z,w)\leq \inf_{\sigma}\{\ell_h(-\sigma)\}=\rho(w,z). \end{equation}

De las ecuaciones anteriores se sigue que $\rho(z,w)=\rho(w,z).$

Desigualdad triangular. Consideremos los complejos $z,w,v\in\mathbb{H}$ y veamos que se satisface la desigualdad

\[ \rho(z,w)\leq \rho(z,v)+\rho(v,w). \]

De la definición de ínfimo se sigue el siguiente hecho: dado cualquier real positivo $\varepsilon>0,$ existen las curvas derivables a trozos $\gamma:[a,b]\to \mathbb{H}$ y $\sigma:[c,d] \to\mathbb{H},$ con puntos finales $z$ y $v$; y $v$ y $w,$ respectivamente, tal que

\begin{equation}\label{eq:desigualdad_triangular} \begin{array}{ccc} \ell_h(\gamma)-\rho(z,v)\leq \dfrac{\varepsilon}{2} & \text{ y }& \ell_h(\sigma) -\rho (v,w)\leq \dfrac{\varepsilon}{2},\\ &&\\ \ell_h(\gamma)\leq \rho(z,v)+\dfrac{\varepsilon}{2} &\text{ y } &\ell_h(\sigma) \leq \rho (v,w)+\dfrac{\varepsilon}{2}.\\ \end{array} \end{equation}

Tomemos la curva suma $\gamma+\sigma:[a,b+d-c]\to \mathbb{H},$ definida mediante

\[ (\gamma+\sigma)(t)= \begin{cases} \gamma(t), & \text{si } a\leq t\leq b,\\ \sigma(c-d+t),& \text{si } b\leq t\leq b+d-c, \end{cases} \]

la cual es derivable a trozos y tiene puntos finales $z$ y $w.$ De la definición de la función $\rho$ se sigue que

\[ \rho(z,w)\leq \ell_{h}(\gamma +\sigma)=\ell_h(\gamma)+\ell_h(\sigma)\leq \rho(z,v)+\rho(v,w)+\varepsilon. \]

Como la anterior ecuación es válida para cualquier $\varepsilon>0,$ entonces se sigue que

\[ \rho(z,w)\leq \rho(z,v)+\rho(v,w). \]

La función distancia $\rho$ induce una topología para el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$ Dicha topología coincide con la inducida por la topología del subespacio $\mathbb{H}\subset \mathbb{C}.$ Sin embargo, aún no contamos con la herramienta suficiente para probar esta afirmación. Así que lo verificaremos más adelante.

Isometrías y geodésicas

Isometrías del plano hiperbólico

3.2.1. Isometrías del plano hiperbólico

Recordemos que una isometría del plano hiperbólico $\mathbb{H}$ es una función biyectiva desde $\mathbb{H}$ en sí mismo que preserva la distancia hiperbólica $\rho$ i.e., la función biyectiva $g:\mathbb{H}\to\mathbb{H}$ es una isometría, si $\rho(z,w)=\rho(g(z),g(w))$ para cualesquiera $w,z\in\mathbb{H}.$ El conjunto $\operatorname{Isom}(\mathbb{H})$ conformado por todas las isometrías del plano hiperbólico $\mathbb{H}$ bajo la operación composición forman un grupo. En esta sección vamos a describir los elementos de $\operatorname{Isom}(\mathbb{H}).$ Más precisamente, vamos a probar que el grupo de isometrías del plano hiperbólico está generado por los elementos de $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ y la reflexión con respecto al eje imaginario

\[ R_{\operatorname{Im}}(z)= -\overline{z}. \]

Recordemos que $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ es el subgrupo de $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{C})$ conformado por las clases de matrices

\[ [A]=\left\{\left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} -a & -b \\ -c & -d \end{matrix}\right) \right\}, \]

tal que los términos $a,b,c,d\in \mathbb{R}.$ Este subgrupo deja invariante el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$

El grupo $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ actúa sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ mediante homeomorfismos i.e., todo elemento $T\in \operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ es un homeomorfismo de $\mathbb{H}$ en sí mismo.

Tomemos la transformación de Möbius $T$ en $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R}),$ tal que \[ T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}. \]

Basta verificar que $T(\mathbb{H})=\mathbb{H},$ es decir, $\operatorname{Im}(T(z))>0,$ para $z\in\mathbb{H}.$ De las propiedades de los números complejos se sigue que

\begin{equation}\label{eq:T(z)_mobiuos_sobre_plano_hiperbolico} \begin{split} T(z)&=\dfrac{(az+b)(c\overline{z}+d)}{(cz+d)(c\overline{z}+d)}=\dfrac{acz\overline{z}+bc\overline{z}+adz+bd}{|cz+d|^2},\\ &=\dfrac{ac|z|^2+bc\overline{z}+adz+bd}{|cz+d|^2}. \end{split} \end{equation}

La parte imaginaria del complejo $w\in\mathbb{C}$ satisface

\[ \operatorname{Im}(w)=\dfrac{w-\overline{w}}{2i}. \]

Sustituyendo la expresión anterior en esta igualdad obtenemos

$$ \begin{equation*} \begin{split} \operatorname{Im}\left(T(z)\right)& =\frac{T(z)-\overline{T(z)}}{2i},\\ &=\dfrac{\dfrac{ac|z|^2+bc\overline{z}+adz+bd}{|cz+d|^2}-\dfrac{ac|z|^2+bcz+ad\overline{z}+bd}{|cz+d|^2}}{2i},\\ &=\dfrac{\cancel{ac|z|^2}+bc\overline{z}+adz+\cancel{bd} \cancel{-ac|z|^2}-bcz-ad\overline{z}\cancel{-bd}}{2i|cz+d|^2},\\ &=\dfrac{adz-bcz +bc\overline{z}-ad\overline{z}}{2i|cz+d|^2}=\dfrac{z(\cancelto{1}{ad-bc})-\overline{z}(\cancelto{1}{ad-bc})}{2i|cz+d|^2},\\ &=\dfrac{z-\overline{z}}{2i|cz+d|^2}= \dfrac{\operatorname{Im}(z)}{|cz+d|^2}>0.\\ \end{split} \end{equation*} $$

El lector puede verificar fácilmente que la reflexión con respecto al eje imaginario

\[ R_{\operatorname{Im}}(z)=-\overline{z}, \]

también deja invariante el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$

Los elementos de $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ son isometrías del plano hiperbólico.

Consideremos $\gamma:[a,b]\to \mathbb{H}$ una curva diferenciable y $T$ una transformación de Möbius de $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ dada por \[ T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}. \]

Basta probar que la longitud hiperbólica de las curvas $\gamma$ y $T\circ \gamma$ coinciden, es decir,

\[ \ell_{h}(\gamma)=\ell_{h}(T\circ\gamma). \]

Usando la Definición 5, la longitud hiperbólica de la curva $T\circ\gamma$ es

\begin{equation}\label{eq:tgamma} \ell_{h}(T\circ\gamma)=\int\limits_{a}^{b} \left\Vert \dfrac{d}{dt}T(\gamma(t)) \right\Vert_{h}dt. \end{equation}

Por otro lado, tenemos que la derivada compleja de la transformación de Möbius $T$ es

\[ \begin{aligned} \frac{d}{dz}T(z)&=\frac{a(cz+d)-c(az+b)}{(cz+d)^2}=\frac{acz+ad - acz - cb}{(cz+d)^2},\\ &= \frac{ad-bc}{(cz+d)^2}=\frac{1}{(cz+d)^2}. \end{aligned} \]

Ahora, recordemos que la parte imaginaria de $T(z)$ está dada mediante la expresión

\[ \operatorname{Im}(T(z))=\dfrac{\operatorname{Im}(z)}{|cz+d|^2}. \tag{2} \]

De la ecuación \eqref{eq:norma_hiperbolica} de la norma hiperbólica y la regla de la cadena se obtiene que la norma hiperbólica del vector $\dfrac{d}{dt}T(\gamma(t))$ es igual a

\[ \begin{aligned} \left \Vert \dfrac{d}{dt}T\left(\gamma(t)\right)\right\Vert_{h} & = \dfrac{\left \vert \dfrac{d}{dt}T\left(\gamma(t)\right)\right \vert}{\operatorname{Im}\left(T(\gamma(t))\right)} = \dfrac{\left \vert \dfrac{d}{dz}T\left(\gamma(t)\right) \,\gamma'(t)\right \vert}{\operatorname{Im}\left(T(\gamma(t))\right)},\\ &\\ & = \dfrac{|c\gamma(t)+d|^2}{\operatorname{Im}\left(\gamma(t)\right)}\left \vert \dfrac{1}{\left(c\gamma(t)+d\right)^2} \, \gamma'(t) \right \vert = \dfrac{|c\gamma(t)+d|^2}{\operatorname{Im}\left(\gamma(t)\right)}\left\vert \dfrac{(c\overline{\gamma(t)}+d)^2}{|c\gamma(t)+d|^4} \gamma'(t)\right \vert,\\ &\\ & =\dfrac{|c\gamma(t)+d|^2}{\operatorname{Im}\left(\gamma(t)\right)\,|c\gamma(t)+d|^4}\left \vert \left(c\overline{\gamma(t)}+d\right)^2 \, \gamma'(t) \right\vert = \dfrac{\left \vert (c\overline{\gamma(t)}+d)^2 \, \gamma'(t) \right\vert}{\operatorname{Im}(\gamma(t))\, |c\gamma(t)+d|^2},\\ &\\ &=\dfrac{ \vert (c\overline{\gamma(t)}+d)^2\vert \, \vert \gamma'(t) \vert}{\operatorname{Im}(\gamma(t))\, |c\gamma(t)+d|^2} = \dfrac{|(c\overline{\gamma(t)}+d)|^2 \vert \gamma'(t)\vert}{\operatorname{Im}(\gamma(t))\, |c\gamma(t)+d|^2},\\ &\\ &=\dfrac{|(c\gamma(t)+d)|^2 \vert \gamma'(t)\vert}{\operatorname{Im}(\gamma(t))\, |c\gamma(t)+d|^2} = \frac{\vert \gamma'(t)\vert}{\operatorname{Im}(\gamma(t))} = \Vert \gamma'(t) \Vert_{h}. \end{aligned} \]

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (1) se tiene que

\[ \ell_{h}(T\circ\gamma)=\int_{a}^{b} \left\Vert \dfrac{d}{dt}T(\gamma(t)) \right\Vert_{h}dt = \int_{a}^{b} \Vert \gamma'(t) \Vert_{h}dt = \ell_{h}(\gamma). \]

Ahora, vamos a probar que la reflexión con respecto al eje imaginario también es isometría del plano hiperbólico $\mathbb{H}.$

La reflexión con respecto al eje imaginario $R_{\operatorname{Im}}(z)= -\overline{z}$ es una isometría del plano hiperbólico $\mathbb{H}.$

Consideremos la curva diferenciable a trozos $\gamma:[a,b]\to \mathbb{H},$ tal que

\[ \gamma(t)=x(t)+iy(t). \]

Basta probar que las longitudes hiperbólicas de las curvas $\gamma$ y $R_{\operatorname{Im}}\circ \gamma$ coinciden, es decir,

\[ \ell_{h}(R_{\operatorname{Im}}\circ \gamma)=\ell_{h}(\gamma). \]

Notemos que si $z=x+iy$ entonces $R_{\operatorname{Im}}(x+iy)=-x+iy,$ entonces la derivada de la curva $R_{\operatorname{Im}}\circ \gamma(t)=-x(t)+iy(t)$ es

\[ (R_{\operatorname{Im}}\circ \gamma)'(t)=-x'(t)+iy'(t). \]

Así,

\[ \begin{aligned} \ell_{h}(R_{\operatorname{Im}}\circ \gamma) &= \int_{a}^{b}\dfrac{\sqrt{(-x'(t))^2+(y'(t))^2}}{y(t)}dt,\\ &=\int_{a}^{b}\dfrac{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}{y(t)}dt = \ell_{h}(\gamma). \end{aligned} \]

Para probar que el grupo de isometrías está generado por elementos de $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ y la reflexión $R_{\operatorname{Im}}$ debemos introducir el concepto de geodésicas del plano hiperbólico.

Geodésicas del plano hiperbólico

3.2.2. Geodésicas del plano hiperbólico

En la geometría euclidiana, la distancia euclidiana entre los puntos $A$ y $B$ coincide con la longitud del segmento euclidiano $\overline{AB}.$ El segmento euclidiano $\overline{AB}$ es un objeto geométrico que realiza (tiene asociado) la distancia entre los puntos $A$ y $B.$ La prolongación de dicho segmento (uso del Postulado II) construye el objeto geométrico que llamamos línea euclidiana. Desde el punto de vista de la geometría Riemanniana, una curva derivable a trozos que realiza la distancia (inducida por la métrica Riemanniana $\mu$) entre dos puntos es llamada geodésica. Para el caso preciso del espacio hiperbólico $\mathbb{H}$ introducimos la siguiente definición.

La curva derivable a trozos $\gamma:[a,b]\to\mathbb{H}$ con puntos finales $z, w \in\mathbb{H}$ es una geodésica, si satisface \[ \rho(z,w)=\ell_h(\gamma). \]

Probaremos que las geodésicas son segmentos de semirrectas euclidianas en $\mathbb{H}$ perpendiculares al eje real o, arcos de semicircunferencias que intersectan ortogonalmente al eje real. La prolongación de la traza de estas geodésicas son las líneas hiperbólicas.

Llamaremos línea hiperbólica a las semirrectas euclidianas en el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ ortogonales (perpendiculares) al eje real y, a las semicircunferencias^* en el plano hiperbólico con radio $r>0$ y centro algún punto sobre el eje real.

^* A estos objetos también se les conoce como circunferencias ortogonales al eje real.

Lineas hiperbolicas — Líneas hiperbólicas.

¡Importante! Las líneas hiperbólicas son trozos (segmentos) de círculos generalizados (véase Definición 3) del plano complejo extendido $\widehat{\mathbb{C}}.$

¡Importante! Las líneas hiperbólicas sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ son las homólogas a las líneas euclidianas sobre el plano (complejo $\mathbb{C}$) euclidiano.

Postulados

Hemos descrito el espacio hiperbólico $\mathbb{H}$ como espacio ambiente y sus respectivas líneas hiperbólicas. Es natural preguntarnos sobre la veracidad de los cinco postulados de la geometría hiperbólica. El cumplimiento del Postulado I, lo podremos entender mediante el planteamiento de la siguiente pregunta:

Dados los puntos distintos $z\neq w\in\mathbb{H},$ ¿cómo trazamos con regla y compás una línea hiperbólica que pase por los complejos $z$ y $w$?

Demos respuesta, para el caso $\operatorname{Re}(z)\neq \operatorname{Re}(w).$ Para el caso contrario, $\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}(w)$ los resultados de la geometría compleja nos garantizan la existencia de una línea euclidiana perpendicular al eje real, la cual pasa por $z$ y $w.$ Antes de proceder, recordemos que la mediatriz de un segmento de línea euclidiana es la línea euclidiana $l$ perpendicular a dicho segmento, cruzando por su punto medio.

Tomemos el segmento de línea euclidiano con extremos $z$ y $w.$ Luego, trazamos la mediatriz $l$ de dicho segmento de línea euclidiano.

Mediatriz del segmento euclidiano con extremos $z$ y $w.$

Dado que $\operatorname{Re}(z)\neq \operatorname{Re}(w),$ entonces la mediatriz $l$ intersecta al eje real en un punto $\alpha$. El Teorema de la mediatriz nos garantiza que todo punto que se encuentre sobre la mediatriz $l$ equidista de los puntos $z$ y $w.$ Esto implica que $\alpha$ equidista a los puntos $w$ y $z,$ i.e.,

\[ |z-\alpha|=|w-\alpha|=:r>0. \]

Entonces la circunferencia ortogonal al eje real (semicircunferencia con centro $\alpha$ y radio $r$)

\[ C_{r}(\alpha)=\{v\in\mathbb{H}: |v-\alpha|=r\}, \]

atraviesa los puntos $z$ y $w.$ Siendo $C_{r}$ la única línea hiperbólica que pasa por los puntos $z$ y $w.$

El Postulado II es evidente, pues cada geodésica es un segmento de una línea hiperbólica, la cual siempre es posible prolongarla en el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ con ayuda de la regla y el compás. Trataremos los Postulados III y IV cuando estudiemos las bolas inducidas por la distancia hiperbólica (Teorema 14) y los ángulos formados por curvas derivables a trozos, respectivamente.

Ahora bien, tratemos la negación del Postulado V de la geometría euclidiana, el cual enuncia que por un punto $A$ exterior a una línea euclidiana $l$ pasa una única línea euclidiana $l'$ que no intersecta a $l.$ En el plano hiperbólico $\mathbb{H},$ al considerar $C$ una línea hiperbólica y un punto $z\in\mathbb{H}$ exterior a ella, podemos trazar con regla y compás más de una línea hiperbólica pasando por el complejo $z$ y que no se encuentran con $C.$

Líneas hiperbólicas atravezando por z. — Líneas hiperbólicas atravezando por $z.$

Propiedades de las isometrías y geodésicas

Recordemos que las transformaciones de Möbius dejan invariantes los círculos generalizados. Vamos a introducir ciertas transformaciones de Möbius actuando sobre algunas líneas hiperbólicas.

(1) La homotecia dada por \[ H_{r}(z)=rz, \] para algún $r>0,$ envía la línea hiperbólica (semicircunferencia con centro $\mathbf{0}$ y radio $1$) \[ C_{1}(\mathbf{0})=\left\{z\in\mathbb{H}: |z|=1\right\}, \] en la línea hiperbólica (semicircunferencia con centro $\mathbf{0}$ y radio $r$) \[ C_{r}(\mathbf{0})=\left\{z\in\mathbb{H}:|z|=r\right\}. \] Adicionalmente, esta homotecia deja invariante el eje imaginario.
(2) La traslación dada por \[ T_{b}(z)=z+b, \] para algún real no nulo $b\neq 0,$ envía la línea hiperbólica (semicircunferencia con centro $\mathbf{0}$ y radio $1$) \[ C_{1}(\mathbf{0})=\left\{z\in\mathbb{H}: |z|=1\right\}, \] en la línea hiperbólica (semicircunferencia con centro $b$ y radio $1$) \[ C_{1}(b)=\left\{z\in\mathbb{H}:|z-b|=1\right\}. \] Adicionalmente, esta traslación envía el eje imaginario sobre la línea hiperbólica (semirrecta euclidiana perpendicular al eje real) que pasa por el punto $b\in\mathbb{R}.$
(3) La transformación de Möbius dada por la composición \[ T_{b}\circ H_{r}(z)=rz+b, \] envía la línea hiperbólica (semicircunferencia con centro $\mathbf{0}$ y radio $1$) \[ C_{1}(\mathbf{0})=\left\{z\in\mathbb{H}: |z|=1\right\}, \] en la línea hiperbólica (semicircunferencia con centro $b$ y radio $r$) \[ C_{r}(b)=\left\{z\in\mathbb{H}:|z-b|=r\right\}. \]
(4) Usando un resultado de transformaciones de Möbius podemos obtener la transformación de Möbius $T\in \operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ dada por \begin{equation}\label{ej:imaginario_circulo} T(z)=\dfrac{z-1}{z+1}, \end{equation} la cual envía el eje imaginario sobre la línea hiperbólica (semicircunferencia con centro $\mathbf{0}$ y radio $1$) \[ C_{1}(\mathbf{0})=\left\{z\in\mathbb{H}:|z|=1\right\}. \] Notemos que $T(-1)=\infty,$ $T(i)=i$ y $T(1)=\mathbf{0}.$ Adicionalmente, $T$ envía el primer y segundo cuadrante del plano hiperbólico $\mathbb{H}$ sobre los conjuntos conexos $\{z\in\mathbb{H}: |z| <1\}$ y $\{z\in\mathbb{H}: |z|>1\},$ respectivamente.

Si tomamos cualesquiera dos líneas hiperbólicas $C_{1}$ y $C_{2},$ a partir de composiciones de las cuatro transformaciones de Möbius descritas anteriormente podemos obtener un elemento $T\in \operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ que envíe $C_{1}$ sobre $C_{2}.$

El grupo $\operatorname{PSL}(2, \mathbb{R})$ actúa transitivamente en la familia de todas las líneas hiperbólicas. Más precisamente, si $C_1$ y $C_2$ son líneas hiperbólicas, entonces existe un elemento $T\in \operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ que envía $C_{1}$ sobre $C_{2},$ i.e., $T(C_{1})=C_{2}.$

El siguiente resultado nos garantiza que los segmentos de líneas hiperbólicas son las geodésicas del plano hiperbólico $\mathbb{H}.$

Las geodésicas del plano hiperbólico $\mathbb{H}$ corresponden a (trozos) segmentos de líneas hiperbólicas, en otras palabras, las geodésicas son segmentos de semirrectas euclidianas en $\mathbb{H}$ ortogonales al eje real o, arcos (segmentos) de semicircunferencias con centro en el eje real.

Consideremos puntos distintos $z\neq w$ sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$ Probemos que existe una geodésica (curva diferenciable a trozos) $\gamma:[a,b]\to\mathbb{H}$ con las siguientes condiciones:

(1) Sus extremos son los complejos $z$ y $w.$
(2) Su longitud hiperbólica es tal que $\ell_{h}(\gamma)=\rho(z,w).$
(3) La traza $\gamma^{\ast}$ de la curva $\gamma$ es un segmento de una línea hiperbólica.

Debemos estudiar los siguientes dos casos.

Caso 1. Los complejos $z$ y $w$ están sobre el eje imaginario, entonces son de la forma

\[ z=ia \quad \text{ y } \quad w=ib, \]

tal que $0\lt a\lt b.$ De ejemplos anteriores se sigue que la curva $\gamma:[a,b]\to\mathbb{H},$ definida mediante

\[ \gamma(t)=it, \]

tiene como puntos finales a los complejos $z$ y $w$ y realiza la distancia hiperbólica entre dichos puntos i.e.,

\[ \rho(z,w)=\ell(\gamma)=\ln\left( \dfrac{b}{a}\right). \]

Siendo $\gamma$ un segmento de línea hiperbólica (semirrecta euclidiana perpendicular al eje real).

Caso 2. Supongamos que los elementos $z$ y $w$ son puntos arbitrarios sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ tal que alguno de ellos no está sobre el eje imaginario. Denotemos mediante $C$ a la circunferencia ortogonal al eje real que pasa por los puntos $z$ y $w.$ El Teorema 6 garantiza la existencia de una transformación de Möbius $T$ en $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ que envía la línea hiperbólica $C$ sobre el eje imaginario (positivo). Así, las imágenes

\[ T(z) \quad \text{ y } \quad T(w) \]

están sobre el eje imaginario (positivo). Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $T(z)=ai$ y $T(w)=bi,$ para algunos reales positivos $0\lt a\lt b.$ Dado que los elementos de $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ son isometrías de $\mathbb{H},$ entonces

\begin{equation}\label{eq:caso2} \rho(z,w)=\rho(T(z),T(w)). \end{equation}

Del Caso 1, se sigue que la curva $\gamma$ con extremos $T(z)$ y $T(w)$ es una geodésica, es decir, $\gamma$ realiza la distancia hiperbólica entre dichos puntos

\begin{equation}\label{eq:caso3} \rho(T(z),T(w))=\ell_h(\gamma). \end{equation}

Dado que la transformación de Möbius $T$ preserva la norma hiperbólica, entonces

\begin{equation}\label{eq:caso4} \ell_h(\gamma)=\ell_h(T^{-1}\circ \gamma). \end{equation}

Ahora, comparando las ecuaciones (1), (2) y (3) obtenemos

\[ \rho(z,w)=\ell_h(T^{-1}\circ \gamma). \]

Esta última igualdad implica que la distancia hiperbólica entre $z$ y $w$ es realizada por la curva $T^{-1}\circ \gamma.$ Dado que los elementos de $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ actúan sobre las líneas hiperbólicas, entonces la traza $(T^{-1}\circ \gamma)$ es un segmento de arco de una línea hiperbólica que pasa por los puntos $z$ y $w.$

El anterior resultado nos garantiza que dados dos complejos distintos $z\neq w$ sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H},$ existe una única geodésica que realiza la distancia hiperbólica entre $z$ y $w.$ Para este caso diremos que el plano hiperbólico es geodésicamente completo. Adicionalmente, denotaremos mediante

\begin{equation}\label{eq:notacion_geodesicas_hiperbolica} [z,w] \end{equation}

a la única geodésica con extremos $z$ y $w.$

Dados los complejos distintos $z, w, v\in \mathbb{H},$ entonces $\rho(z,w)=\rho(z,v)+\rho(v,w),$ si y solo si, $v\in[z,w].$

Condición suficiente. Procederemos por contradicción. Asumamos que $v\notin [z,w].$ Entonces las longitudes hiperbólicas de las geodésicas $[z,v]$ y $[v,w]$ satisfacen la desigualdad: \begin{equation} \begin{split} \rho(z,w)=\ell_{h}([z,w])&\lt \ell_{h}([z,v])+\ell_{h}([v,w]),\\ &\lt \rho(z,v)+\rho(v,w).\\ \end{split} \end{equation}

Condición necesaria. Supongamos que $v\in[z,w],$ usando las propiedades de la integral se sigue que

\begin{equation} \begin{split} \rho(z,w)=&\ell_{h}([z,w]),\\ =&\ell_{h}([z,v])+\ell_{h}([v,w]),\\ =&\rho(z,v)+\rho(v,w).\\ \end{split} \end{equation}

Las isometrías del plano hiperbólico envían geodésicas (líneas hiperbólicas) en geodésicas (líneas hiperbólicas).

Consideremos la isometría $\phi\in \operatorname{Isom}(\mathbb{H})$ y los puntos distintos $z$ y $w$ sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$ Veamos que \[ \phi([z,w])=[\phi(z),\phi(w)]. \]

Del Teorema 8 se sigue que $\rho(z,w)=\rho(z,v)+\rho(v,w),$ si y solo si, $v\in[z,w].$ Dado que $\phi$ es una isometría, entonces $\rho(\phi(z),\phi(w))=\rho(\phi(z),\phi(v))+\rho(\phi(v),\phi(w)),$ si y solo si, $\phi(v)\in [\phi(z),\phi(w)].$

Como ejercicio, el lector puede verificar que la reflexión con respecto al eje imaginario

\[ R_{\operatorname{Im}}(z)=-\overline{z}, \]

también envía líneas hiperbólicas sobre líneas hiperbólicas.

Fórmulas invariantes

3.4.1. Fórmulas invariantes

Vamos a enunciar algunas de las fórmulas invariantes bajo los elementos del grupo $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R}).$

Para cualesquiera elementos $z,w\in\mathbb{H},$ las siguientes expresiones son invariantes bajo elementos de $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$:

(1) $\dfrac{|z-w|}{|z-\overline{w}|}.$
(2) $\dfrac{|z-w|^2}{2\, \operatorname{Im}(z)\, \operatorname{Im}(w)}.$
(3) $\dfrac{|z-w|}{2\, (\operatorname{Im}(z)\,\operatorname{Im}(w))^{1/2}}.$
(4) $\dfrac{|z-\overline{w}|}{2\,(\operatorname{Im}(z)\,\operatorname{Im}(w))^{1/2}}.$

Verificaremos los dos primeros incisos. Tomemos la transformación de Möbius $T\in \operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ tal que \[ T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}. \]

Inciso (1). Veamos que se satisface la igualdad

\[ \dfrac{|z-w|}{|z-\overline{w}|}=\dfrac{\left|T(z)-T(w)\right|}{\left|T(z)-\overline{T(w)}\right|}, \]

para cualesquiera complejos $z,w\in\mathbb{H}.$ Evaluamos la transformación de Möbius $T$ en los complejos $z$ y $w$ y realizamos las operaciones adecuadas para obtener

\[ \begin{aligned} \frac{|T(z)-T(w)|}{\left|T(z)-\overline{T(w)}\right|} & = \dfrac{\left|\dfrac{az+b}{cz+d}-\dfrac{aw+b}{cw+d}\right|}{\left|\dfrac{az+b}{cz+d}-\dfrac{a\overline{w}+b}{c\overline{w}+d}\right|},\\ &\\ &=\frac{\dfrac{\left|(az+b)(cw+d)-(aw+b)(cz+d)\right|}{\cancel{\color{red}|cz+d|}\,\cancel{\color{blue}|cw+d|}}}{\dfrac{\left|(az+b)(c\overline{w}+d)-(a\overline{w}+b)(cz+d)\right|}{\cancel{\color{red}|cz+d|}\,\cancel{\color{blue}|c\overline{w}+d|}}},\\ &\\ &= \dfrac{\left|aczw+adz+bcw+bd - aczw - adw - bcz - bd\right|}{\left|acz\overline{w}+adz+bc\overline{w}+bd - acz\overline{w} - ad\overline{w} - bcz - bd\right|},\\ &\\ &=\dfrac{\left|adz - bcz + bcw - adw \right|}{\left|adz - bcz + bc\overline{w} - ad\overline{w} \right|}=\dfrac{\left|\cancelto{1}{\color{blue}(ad-bc)}z - \cancelto{1}{\color{blue}(ad-bc)}w \right|}{\left|\cancelto{1}{\color{blue}(ad-bc)}z - \cancelto{1}{\color{blue}(ad-bc)}\overline{w} \right|},\\ &\\ &=\dfrac{|z-w|}{|z-\overline{w}|}. \end{aligned} \]

Inciso (2). Probaremos la igualdad

\[ \frac{|z-w|^2}{2 \operatorname{Im}(z) \operatorname{Im}(w)}=\frac{|T(z)-T(w)|^2}{2 \, \operatorname{Im}(T(z))\, \operatorname{Im}(T(w))}, \]

para cualesquiera $z,w\in\mathbb{H}.$ Evaluamos la transformación de Möbius $T$ en los complejos $z$ y $w,$ y usamos la ecuación $\operatorname{Im}(T(z))=\dfrac{\operatorname{Im}(z)}{|cz+d|^2}.$ Así, el miembro derecho de la anterior expresión es igual a

\[ \frac{|T(z)-T(w)|^2}{2 \, \operatorname{Im}(T(z))\, \operatorname{Im}(T(w))} = \dfrac{\left|\dfrac{az+b}{cz+d}-\dfrac{aw+b}{cw+d} \right|^2}{2\dfrac{\operatorname{Im}(z)}{|cz+d|^2 }\dfrac{\operatorname{Im}(w)}{|cw+d|^2 }}. \]

Ahora, realizamos las operaciones adecuadas y obtenemos

\[ \begin{aligned} \frac{|T(z)-T(w)|^2}{2 \, \operatorname{Im}(T(z))\, \operatorname{Im}(T(w))}& = \dfrac{\left|\dfrac{az+b}{cz+d}-\dfrac{aw+b}{cw+d} \right|^2}{2\dfrac{\operatorname{Im}(z)}{|cz+d|^2 }\dfrac{\operatorname{Im}(w)}{|cw+d|^2 }}, \\ &\\ &=\frac{\dfrac{\left|(az+b)(cw+d)-(aw+b)(cz+d)\right|^{2}}{|cz+d|^{2}\,|cw+d|^{2}} \cdot |cz+d|^{2}\,|cw+d|^{2}}{2\, \operatorname{Im}(z) \, \operatorname{Im}(w)}, \\ &\\ &=\dfrac{\left|aczw+adz+bcw+bd - aczw - adw - bcz - bd\right|^2}{2\, \operatorname{Im}(z)\, \operatorname{Im}(w)},\\ &\\ &= \frac{\left|(ad-bc)z - (ad-bc)w\right|^{2}}{2 \, \operatorname{Im}(z) \, \operatorname{Im}(w)},\\ &\\ &=\dfrac{\left|z-w\right|^{2}}{2\, \operatorname{Im}(z)\, \operatorname{Im}(w)}. \end{aligned} \]

Ahora, enunciaremos varias fórmulas relacionadas con la distancia hiperbólica $\rho$ y las funciones trigonométricas hiperbólicas. Recordemos que las funciones seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólico, denotadas mediante $\senh, \cosh, \tanh,$ respectivamente, están definidas mediante

\[ \senh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \quad \cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \quad \tanh (x)=\frac{\senh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}, \]

donde $x$ es cualquier real positivo.

Para cualesquiera dos puntos $z,w$ sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ se satisfacen las siguientes igualdades

(1) $\cosh\rho(z,w)=1+\dfrac{|z-w|^2}{2\, \operatorname{Im}(z)\, \operatorname{Im}(w)}.$
(2) $\senh \left(\dfrac{1}{2}\rho(z,w)\right)=\dfrac{|z-w|}{2\, (\operatorname{Im} (z) \, \operatorname{Im}(w))^{1/2}}.$
(3) $\cosh \left(\dfrac{1}{2}\rho(z,w)\right)=\dfrac{|z-\overline{w}|}{2\,(\operatorname{Im}(z) \, \operatorname{Im}(w))^{1/2}}.$
(4) $\tanh \left(\dfrac{1}{2} \rho(z,w)\right)=\dfrac{|z-w|}{|z-\overline{w}|}.$

Probaremos los incisos (1) y (4), el lector probará los dos restantes.

Tomemos los complejos $z$ y $w$ sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H}.$ Las pruebas de cada fórmula siguen la siguiente estrategia. Primero, verificamos cada una de las igualdades para el caso (particular) $z=i$ y $w=it,$ siendo $t\gt 0.$ Luego, suponemos el caso (general) en que los complejos $z$ y $w$ son arbitrarios, entonces usamos resultados previos para garantizar la existencia de una transformación de Möbius $T\in\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ tal que $T(z)=i$ y $T(w)=it,$ para algún $t\gt 0.$ Así, la fórmula es escrita para complejos del caso particular. Como $T$ es una isometría del plano hiperbólico $\mathbb{H},$ entonces cada fórmula debe ser válida para el caso general.

Inciso (1). Caso particular. Si $z=i$ y $w=it$ tal que $t\gt 1.$ Usando resultados previos y computando, tenemos que

$$ \begin{equation} \begin{split} \cosh\rho(z,w) &= \cosh \rho(i,it) = \cosh (\ln t)=\dfrac{e^{\ln t}+e^{-\ln t}}{2},\\ &\\ &=\dfrac{t+\dfrac{1}{t}}{2}=\dfrac{t^2+1}{2t}= \dfrac{t^2-2t+1 +2t}{2t}=\dfrac{(t-1)^2+2t}{2t},\\ &\\ &=\dfrac{(t-1)^2}{2t}+1=\dfrac{|i|^2|1-t|^2}{2t}+1=\dfrac{|i(1-t)|^2}{2t}+1,\\ &\\ &=\dfrac{|i-it|^2}{2\,\operatorname{Im}(i)\,\operatorname{Im}(it)}+1=1+\dfrac{|z-w|^2}{2\,\operatorname{Im}(z)\, \operatorname{Im}(w)}.\\ \end{split} \end{equation} $$

Caso general. Contrariamente, si los complejos $z$ y $w$ son arbitrarios sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H},$ entonces resultados previos nos garantizan la existencia de una transformación de Möbius $T\in\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ que envía $z$ y $w$ en $i$ y $it$ (respectivamente) para algún $t\gt 0.$ Usando el hecho que $T$ es una isometría del plano hiperbólico $\mathbb{H}$ y el resultado del caso particular, tenemos la igualdad

\[ \begin{aligned} \cosh\rho (z,w) &= \cosh\rho (T(z),T(w))=\cosh \rho (i,it),\\ &\\ &=1+\dfrac{|i-it|^2}{2\,\operatorname{Im}(i)\, \operatorname{Im}(it)}. \end{aligned} \]

Del Lema 11 inciso (2), se sigue que

\[ \dfrac{|i-it|^2}{2\,\operatorname{Im}(i)\, \operatorname{Im}(it)}=\dfrac{\left|T^{-1}(i)-T^{-1}(it)\right|^2}{2\,\operatorname{Im}(T^{-1}(i))\, \operatorname{Im}(T^{-1}(it))}=\dfrac{|z-w|^2}{2\, \operatorname{Im}(z)\, \operatorname{Im}(w)}. \]

Finalmente, reemplazamos este último término en la anterior igualdad y obtenemos el resultado esperado

\[ \cosh\rho (z,w) = 1+\dfrac{|z-w|^2}{2\,\operatorname{Im}(z)\, \operatorname{Im}(w)}. \]

Inciso (4). Caso particular. Si $z=i$ y $w=it$ tal que $t\gt 1.$ Usando resultados previos y computando, tenemos que

\[ \begin{aligned} \tanh\left(\dfrac{1}{2}\rho(z,w)\right) &= \tanh\left(\dfrac{1}{2} \rho(i,it)\right) = \tanh \left(\dfrac{1}{2}\ln t\right),\\ &\\ &=\dfrac{e^{\ln t^{1/2}}-e^{\ln t^{-1/2}}}{e^{\ln t^{1/2}}+e^{\ln t^{-1/2}}}=\dfrac{t^{1/2}-t^{-1/2}}{t^{1/2}+t^{-1/2}}=\dfrac{t-1}{t+1},\\ &\\ &=\dfrac{|i-it|}{|i+it|}=\dfrac{|z-w|}{|z-\overline{w}|}. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \tanh\left(\dfrac{1}{2}\rho (z,w)\right)& = \tanh\left(\dfrac{1}{2}\rho (T(z),T(w))\right)=\tanh\left(\dfrac{1}{2} \rho (i,it)\right),\\ &\\ &= \frac{|i-it|}{|i+it|}. \end{aligned} \]

Del Lema 11 inciso (1), se sigue que

\[ \dfrac{|i-it|}{|i-\overline{it}|}=\dfrac{\left|T^{-1}(i)-T^{-1}(it)\right|}{\left| T^{-1}(i)-\overline{T^{-1}(it)}\right|}=\dfrac{|z-w|}{|z-\overline{w}|}. \]

Finalmente, reemplazamos este último término en la anterior igualdad y obtenemos el resultado esperado

\[ \tanh\left(\dfrac{1}{2}\rho (z,w)\right) = \dfrac{|z-w|}{|z-\overline{w}|}. \]

Ahora, vamos a describir una fórmula para calcular la distancia hiperbólica entre dos complejos $z,w\in\mathbb{H}.$ Para ello, evaluamos el valor de la ecuación descrita en el inciso (4) del Lema 11 en la función tangente hiperbólica inversa $\tanh^{-1},$ la cual está dada por

\[ \tanh^{-1} (x)=\dfrac{1}{2}\ln \left(\dfrac{1+x}{1-x}\right) \]

siempre que $|x|\lt 1$ y, obtenemos

\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}\rho(z,w)&=\tanh^{-1}\left(\dfrac{|z-w|}{|z-\overline{w}|}\right),\\ &\\ \dfrac{1}{2}\rho(z,w)&=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+ \dfrac{|z-w|}{|z-\overline{w}|}}{1-\dfrac{|z-w|}{|z-\overline{w}|}}\right),\\ &\\ \rho(z,w)&=\ln\left(\frac{|z-\overline{w}|+|z-w|}{|z-\overline{w}|-|z-w|}\right). \end{aligned} \]

La distancia hiperbólica $\rho$ entre dos complejos $z,w\in\mathbb{H}$ está dada por \begin{equation} \rho(z,w)=\ln\left(\dfrac{|z-\overline{w}|+|z-w|}{|z-\overline{w}|-|z-w|}\right). \end{equation}

Grupo completo de Isómetrias

3.4.2. Grupo completo de Isómetrias

Estamos listos para enunciar el grupo completo de isometrías del plano hiperbólico $\mathbb{H}.$

El grupo $\operatorname{Isom}(\mathbb{H})$ está generado por los elementos de $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ y la reflexión con respecto al eje imaginario $R_{\operatorname{Im}}(z)= -\overline{z}.$ En otras palabras, cualquier isometría del plano hiperbólico es un elemento de $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ o es de la forma \[ \phi(z)=\dfrac{a(-\overline{z})+b}{c(-\overline{z})+d}, \] tal que $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ y $ad-bc=1.$

Consideremos $\phi$ una isometría del plano hiperbólico $\mathbb{H}.$ Vamos a demostrar que \[ \phi(z)=\dfrac{az+b}{cz+d} \quad \text{ o } \quad \phi(z)=\dfrac{a(-\overline{z})+b}{c(-\overline{z})+d}, \]

tal que $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ y $ad-bc=1.$

El Teorema 9 nos garantiza que la isometría $\phi$ preserva líneas hiperbólicas, entonces la imagen del eje imaginario $\operatorname{Im}$ bajo $\phi$ es también una línea hiperbólica. Dado que $\operatorname{PSL}(2, \mathbb{R})$ actúa transitivamente sobre las líneas hiperbólicas, entonces existe un elemento $T\in \operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ tal que

\[ T\circ \phi (\operatorname{Im})=\operatorname{Im}. \]

Ahora, podemos considerar la homotecia

\[ H(z)=kz, \]

para algún $k\gt 0,$ y si es necesario también tomamos la transformación de Möbius dada por

\[ M(z)=\dfrac{-1}{z}, \]

tal que la composición

\begin{equation}\label{eq:notacion_composicion_adecuada_isom_hiper} T:=M\circ H \end{equation}

fije al complejo $i$ y envíe los rayos $(i,\infty)$ y $(\mathbf{0},i)$ sobre ellos mismos y así, concluir que $T\circ \phi$ fija cada punto del eje imaginario $\operatorname{Im}.$

Tomemos el complejo $z=x+iy\in\mathbb{H}$ y denotemos al complejo $T\circ \phi (z)$ mediante

\begin{equation}\label{eq:regla_asignacion_mobius_isometria_adecuada} T\circ \phi (z)=u+iv\in\mathbb{H}. \end{equation}

Como la composición $T\circ \phi$ es una isometría, entonces para cada $t\gt 0$ tenemos que

\[ \rho(z,it)=\rho(T\circ\phi(z), T\circ\phi(it))=\rho(u+vi,it). \]

Del Lema 11 inciso (2), se sigue que

\[ \dfrac{\left|it-(u+vi)\right|^{2}}{2\, \operatorname{Im}(it)\,\operatorname{Im}(u+vi)}=\dfrac{\left|it-z\right|^{2}}{2\, \operatorname{Im}(it)\, \operatorname{Im}(z)}. \]

Calculando normas y tomando la parte imaginaria obtenemos

\begin{equation}\label{eq:hacer_tender_t_infinito} \dfrac{x^{2}+(t-y)^{2}}{2ty}=\dfrac{u^2+(t-v)^{2}}{2tv}. \end{equation}

Equivalentemente,

\[ y\left(u^2+(t-v)^2\right)=v\left(x^2+(t-y)^2\right). \]

Como $t\gt 0,$ dividimos en ambos lados de la anterior ecuación entre $t^{2}$ y obtenemos

\[ y\left(\dfrac{u^2}{t^{2}}+\left(1-\dfrac{v}{t}\right)^2\right)=v\left(\dfrac{x^2}{t^{2}}+\left(1-\dfrac{y}{t}\right)^2\right). \]

En la anterior igualdad tomamos el límite cuando $t$ tiende a $\infty,$ entonces obtenemos

\[ y=v. \]

Sustituimos la anterior igualdad en la ecuación (2) y obtenemos

\[ u^2=x^2. \]

Así, la regla de asignación de la composición $T\circ \phi$ (véase ecuación (1)) está dada por

\[ T\circ \phi(z)=z \quad \text{ o } \quad T\circ \phi(z)=-\overline{z}. \]

Como las isometrías son funciones (biyectivas) continuas y las funciones continuas envían conexos en conexos, entonces solo se satisface una de las anteriores reglas de asignación para $T\circ \phi.$ Si $T\circ \phi(z)=z,$ entonces $\phi=T^{-1}$ es un elemento de $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R}).$ Contrariamente, si $T\circ \phi(z)=-\overline{z},$ entonces $\phi$ está dada por

\[ \phi(z)=T^{-1}(-\overline{z})=\dfrac{a(-\overline{z})+b}{c(-\overline{z})+d}, \]

tal que $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ y $ad-bc=1.$

Topología inducida

El plano hiperbólico $\mathbb{H}$ al ser subconjunto del plano complejo $\mathbb{C},$ este hereda la topología del subespacio $\tau.$ Sin embargo, la distancia hiperbólica $\rho$ induce una topología $\tau_{\rho}$ para $\mathbb{H}.$ Vamos a demostrar que estas dos topologías coinciden. Básicamente, probaremos que las bolas hiperbólicas son también bolas euclidianas.

Recordemos que la bola hiperbólica con centro $z\in\mathbb{H}$ y radio $r\gt 0$ es el conjunto

\begin{equation} B_{h}(z,r)=\left\{w\in\mathbb{H}: \rho(w,z) \lt r\right\}. \end{equation}

Del curso básico de Topología, sabemos que el conjunto de todas las bolas

\begin{equation} \mathcal{B}=\left\{B_{d}(z,r): \text{ para cada } z\in \mathbb{H} \text{ y cada } r> 0\right\}, \end{equation}

es base para la topología $\tau_{\rho}$ para $\mathbb{H}$ inducida por la función distancia $\rho.$

El siguiente resultado nos garantiza la validación del

Postulado III, que dice: con cualquier centro y cualquier radio se puede trazar una circunferencia hiperbólica (sobre el plano hiperbólico). Más precisamente, las circunferencias hiperbólicas son también circunferencias euclidianas.

Recordemos que una circunferencia hiperbólica

\[ C_{h}(z_{0},r)=\{z\in\mathbb{H}: \rho(z,z_{0})=r\}, \]

es el conjunto de los puntos sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ que equidistan $r>0$ a otro punto $z_{0}\in\mathbb{H}$ llamado centro.

El conjunto de los puntos $z = x + iy$ en $\mathbb{H},$ que equidistan hiperbólicamente una distancia $r>0$ de un punto $z_0 = x_0 + i y_0\in\mathbb{H},$ están determinados por la siguiente ecuación \[ (x-x_0)^2 + (y- y_0 \cosh r)^2 = y^2_0 \senh^2 r, \] es decir, la circunferencia hiperbólica $C_{h}(z_{0},r)$ con centro $z_{0}$ y radio $r$ es la circunferencia euclidiana con centro $x_{0}+iy_{0}\cosh r$ y radio $y_{0}\senh r$

\begin{equation}\label{eq:bola_hiperbolica_igual_bola_euclidiana} \begin{split} C_{h}(z_{0},r)&=\{z=x+iy\in\mathbb{H}:\rho(z,z_{0})=r\},\\ &=\left\{z=x+iy\in\mathbb{H}: (x-x_0)^2 + (y- y_0 cosh r)^2 = y^2_0senh^2 r\right\}. \end{split} \end{equation}

Consideremos la circunferencia hiperbólica \[ C_{h}(z_{0},r)=\{z=x+iy\in\mathbb{H}: \rho(z,z_0)=r\} \] para algún punto $z_0=x_0+iy_0$ sobre el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ y algún valor real positivo $r>0.$ Para cualquier $z\in C_{h}(z_{0},r),$ tenemos que

\[ \begin{aligned} \cosh \rho(z,z_0)&=\cosh r =1+\frac{|z-z_0|^2}{2\, \operatorname{Im}(z)\operatorname{Im}(z_0)}=1+\frac{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}{2y y_0},\\ &\\ \cosh r&= \frac{2yy_0 + (x-x_0)^2 +y^2 -2yy_0 + y_0^2}{2yy_0},\\ &\\ \cosh r&=\frac{(x-x_0)^2+y^2+y_0^2}{2yy_0}.\\ &\\ 2yy_0\cosh r&= (x-x_0)^2+y^2+y_0^2. \qquad\qquad (*) \end{aligned} \]

Ahora, sustituimos la relación $\cosh^2 r -\senh^2 r=1,$ en la ecuación (*), computamos y obtenemos

\[ \begin{aligned} 2yy_0\cosh r&= (x-x_0)^2+y^2+y_0^2(\cosh^2 r -\senh^2 r),\\ &\\ 2yy_0\cosh r&= (x-x_0)^2+y^2+y_0^2\cosh^2 r - y_0^2\senh^2 r,\\ &\\ y_0^2\senh^2 r&= (x-x_0)^2+y^2 - 2yy_0\cosh r + y_0^2\cosh^2 r,\\ &\\ y_0^2\senh^2 r&= (x-x_0)^2+(y-y_0\cosh r)^2. \end{aligned} \]

La anterior igualdad garantiza la descripción de los elementos que están en la circunferencia hiperbólica $C_{h}(z_{0},r).$

El Teorema 14 nos implica que la bola hiperbólica $B_{h}(z,r)$ con centro $z\in \mathbb{H}$ y radio $r>0,$

\[ B_{h}(z,r)=\left\{x+iy\in\mathbb{H}: (x-x_0)^2 + (y- y_0 \cosh r)^2 \lt y^2_0 \senh^2 r\right\}, \]

el cual coincide con la bola euclidiana con centro $(x_0,y_0\cosh r)$ y radio $y_{0}^2\senh^2 r.$ Más precisamente,

La topología en $\mathbb{H}$ inducida por la métrica hiperbólica $\rho$ es equivalente a la topología del subespacio de $\mathbb{H}\subset \mathbb{C}.$