Transformaciones fraccionarias lineales

En el año de 1855, el matemático aleman August Ferdinand Möbius (1790-1868) publicó su libro titulado Die Theorie der Kreisverwandschaft in rein geometrischer Darstellung (Möbius 1855), en el cual desarrolló la teoría de transformaciones circulares del plano. Estas transformaciones consisten por aquellas que son generadas por inversiones con respecto a circunferencias (para enriquecer esta información histórica recomendamos al lector dirigirse a Kolmogorov & Yushkevich pág. 107). Desde el punto de vista analítico, estas transformaciones pueden ser interpretadas como transformaiones fraccionarias lineales. De aquí la razón por la cual el uso de transformaiones de Möbius para acuñar a las transformaciones fracionarias lineales.

Una

transformación fraccionaria lineal o transformación de Möbius

es una función $T$ de la esfera de Riemann $\widehat{\mathbb{C}}$ sobre sí misma, cuya regla de asiganción es de la forma: \begin{equation}\label{eq:trans_fracc_lineal} T(z)=\frac{az+b}{cz+d}, \end{equation} siendo los coeficientes de la transformación $a,b,c$ y $d$ números complejos, tal que el determinante de la transformación satisface la relación ${\rm det}(T)=ad-cd\neq 0.$

Sobre la regla de asignación de la transformación $T$ (véase ecuación \eqref{eq:trans_fracc_lineal}) se establecen las siguientes consideraciones:

Si el coeficiente $c=0,$ entonces la regla de correspondencia de $T$ está definida mediante
\[ T(z)= \left\{ \begin{array}{ cl } \dfrac{az+b}{d}; & \text{ para cada } z\in\mathbb{C}, \\ \infty; & \text{ si } z=\infty.\\ \end{array} \right. \]
Contrariamente, si el coeficiente $c\neq 0,$ entonces la regla de correspondencia de $T$ está definida mediante
\[T(z)= \left\{ \begin{array}{ cl } \dfrac{az+b}{cz+d}; & \text{ para cada } z\in\mathbb{C}-\left\{\dfrac{-d}{c}\right\}, \\ \infty; & \text{ si } z=\dfrac{-d}{c},\\ \dfrac{a}{c}; & \text{ si } z=\infty.\\ \end{array} \right. \]

Nótese que cada transformación de Möbius $T$ es una biyección continua de la esfera de Riemann $\widehat{\mathbb{C}}$ sobre la esfera de Riemann $\widehat{\mathbb{C}},$ con inversa continua. Más precisamente, para la transformación de Möbius $T$ cuya regla de asignación está descrita en la ecuación \eqref{eq:trans_fracc_lineal}, su inversa $T^{-1}$ es también una transformación de Möbius y, su respectiva regla de asignación está dada por \[ T^{-1}(z)=\dfrac{\dfrac{d}{k}z-\dfrac{b}{k}}{-\dfrac{c}{k}z+\dfrac{a}{k}}, \] siendo $k=\sqrt{det(T)}.$ Por otro lado, la regla de asignación de la transformación identidad ${\rm Id}:\widehat{\mathbb{C}}\to\widehat{\mathbb{C}}$ puede ser escrita como \[ {\rm Id}(z)=\frac{1\, z+0}{0\, z+1}, \] es decir, que ${\rm Id}$ también es una transformación de Möbius. Lo anterior implica que el conjunto de todas las transformaciones de Möbius

\begin{equation}\label{eq:grupo_transformaciones_de_Mobius_notacion} \mathcal{M}:=\left\{T:\widehat{\mathbb{C}}\to \widehat{\mathbb{C}}\mid T \text{ es una transformación de Möbius}\right\}, \end{equation}

es un grupo de los homeomorfismo de la esfera de Riemann ${\rm Homeo}(\widehat{\mathbb{C}}).$

Vamos a introducir cuatro transformaciones de Möbius canónicas.

La función translación con respecto al complejo $b\in \mathbb{C}^{\ast},$ es aquella Möbius cuya regla de asignación está dada por \[ T_b(z)=z+b, \] Su inversa está dada por $T_b^{-1}(z)=z-b.$
La función homotecia con respecto al real positivo $r>0,$ es la transformación de Möbius con regla de asignación \[ H_r(z)=rz. \] Su respectiva transformación inversa está dada por $H_r^{-1}(z)=\dfrac{z}{r}.$
La función rotación con respecto al ángulo $\theta\in (0, 2\pi),$ es la transformación de Möbius con regla de asignación \[ R_{\theta}(z)=e^{i\theta}z. \] Su respectiva transformación inversa está dada por $R_{-\theta}(z)=e^{-i\theta}z.$
La transformación de Möbius cuya regla de asignación está dada por \[ T(z)=\frac{1}{z}, \] es llamada involución. Notemos que la inmersión es una involución, es decir, $g\circ g=Id.$ Además, la inmersión $T$ deja invariante el círculo unitario $\mathbb{S}^{1}:=\{z\in\mathbb{C}: |z|=1\}.$ También, envía el conjunto $\{z\in\mathbb{C}:|z|\lt 1\}$ en el conjunto $\{z\in\mathbb{C}:|z|>1\}\cup\{\infty\}.$ Conversamente, la inversión $T$ mapea el conjunto $\{z\in\mathbb{C}:|z|>1\}\cup\{\infty\}$ sobre el conjunto $\{z\in\mathbb{C}:|z|\lt 1\}.$

Usando algunas de las transformaciones canónicas podemos convencernos que el grupo $\mathcal{M}$ no es conmutativo. Basta considerar las transformaciones dadas por las reglas de asignación \[ T_1(z)=z+1 \quad \text{ y } \quad T_2(z)=\dfrac{-1}{z}, \] entonces las composiciones

\begin{equation*} \begin{split} T_1 \circ T_2(z)&=T_1\left(\dfrac{-1}{z}\right)=\dfrac{-1}{z}+1=\dfrac{z-1}{z},\\ &\\ T_2\circ T_1(z) & =T_2(z+1)=\dfrac{-1}{z+1},\\ \end{split} \end{equation*}

satisfacen $T_1 \circ T_2(z)\neq T_2 \circ T_1 (z)$ para algunos $z\in\widehat{\mathbb{C}}.$

Geométricamente, una transfomación de Möbius se puede obtener por medio de una proyección esteriográfica del plano complejo a una esfera admisible en $\R^3,$ seguida de un movimiento rigido de la esferea en $\R^3$ (el cual se mapea a otra esfera admisible), seguido de una proyección estereográfica de vuelta al plano. Esto se puede apreciar en el siguiente applet. Mueve los deslizadores para observar las differentes transformaciones y sus correspondientes projecciones.

Proyección estereográfica: Transformaciones de Möbius

Transformaciones idénticas

Del curso de Cálculo en una Variable sabemos que las funciones real valuadas $f$ y $g$ dadas por \[ f(x)=2x^2 \quad \text{ y } \quad g(x)=\frac{4x^{2}}{2}, \] son la "misma función", salvo que sus reglas de asignación son diferentes. Para el caso de la transformaciones de Möbius tenemos el mismo fenómeno. Vamos a introducir una definición sencilla que nos permita identificar idénticas entre dos o más transformaciones de Möbius.

Las transformaciones de Möbius $T_1$ y $T_2$ son idénticas, si y solo si, $T_1(z)=T_2(z),$ para cada $z\in\hat{\mathbb{C}}.$

El siguiente resultado, describe condiciones necesarias y suficientes para garantizar cuando dos transformaciones de Möbius son idénticas.

Las transformaciones de Möbius $T_{1}$ y $T_{2}$ dadas por \[ T_1(z)=\dfrac{a_1z+b_1}{c_1z+d_1} \quad \text{y} \quad T_2(z)=\dfrac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}, \] son idénticas, si y solo si, existe un número complejo no nulo $\lambda\in\mathbb{C}^{\ast}$ tal que $a_1=\lambda a_2,$ $b_1=\lambda b_2,$ $c_1=\lambda c_2$ y $d_1=\lambda d_2.$

La condición necesaria es inmediata. Probemos la condición suficiente. Tomemos las transformaciones de Möbius $T_{1}$ y $T_{2}$ idénticas, dadas por las reglas de asignación \[ T_1(z)=\dfrac{a_1z+b_1}{c_1z+d_1}\quad \text{y} \quad T_2(z)=\dfrac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}, \] cuyos coeficientes son diferentes de cero, (la prueba para el caso en que algunos de los coeficientes toma el valor cero es similar). Evaluamos los valores $0,$ $1$ e $\infty$ en las transformaciones y obtenemos

\begin{align} T_1(0) = T_{2}(0) & =\frac{b_1}{d_1}=\frac{b_2}{d_2}=u,\label{eq:T0}\\ T_{1}(1)=T_{2}(1) &=\frac{a_1+b_1}{c_1+d_1}=\frac{a_2+b_2}{c_2+d_2}\label{eq:T1},\\ T_{1}(\infty)=T_{2}(\infty)& =\frac{a_1}{c_1}=\frac{a_2}{c_2}=v\label{eq:Tinfinito}, \end{align}

para algunos valores complejos $u,v\in\mathbb{C}.$ Ahora, en las ecuaciones \eqref{eq:T0} y \eqref{eq:Tinfinito} despejamos adecuadamente y obtenemos las igualdades

\[ b_1=ud_1, \quad b_2=ud_2,\quad a_1=vc_1, \quad a_2=vc_2. \]

Estas últmas cuatro relaciones las sustituimos en la ecuación \eqref{eq:T1}. \[ \frac{vc_1+ud_1}{c_1+d_1} =\frac{vc_2+ud_2}{c_2+d_2}. \]

Luego, computamos y así, obtenemos

\begin{align*} (vc_1+ud_1)(c_2+d_2) & =(vc_2+ud_2)(c_1+d_1),\\ vc_1c_2+vc_1d_2+ud_1c_2+ud_1d_2 & = vc_1c_2+vd_1c_2+uc_1d_2+ud_1d_2,\\ vc_1d_2+ ud_1c_2& =vd_1c_2+uc_1d_2,\\ v(c_1d_2-d_1c_2)-u(c_1d_2-d_1c_2) &=0,\\ (v-u)(c_1d_2-d_1c_2)& =0.\\ \end{align*}

Ahora, argumentaremos que no es posible la condición $v-u=0$ y se debe de satisfacer \[ c_1d_2-d_1c_2=0. \]

Supongamos que $v-u=0,$ entonces de las ecuaciones (\ref{eq:T0}) y (\ref{eq:T1}) se sigue que \[ u-v=\dfrac{a_1}{c_1}-\dfrac{b_1}{d_1}=\dfrac{a_1d_1-b_1c_1}{c_1d_1}=0. \] Esta última igualdad implica que el determinante de la transformación de Möbius $T_1$ es ${\rm det}(T_{1})=0.$ Por lo tanto, se debe de satisfacer \begin{equation}\label{eq:Mobius_identicas_igualdad_cero} v-u\neq 0 \quad \text{ y } \quad c_1d_2-d_1c_2=0. \end{equation}

Seguidamente, despejamos en la segunda igualdad descrita en \eqref{eq:Mobius_identicas_igualdad_cero} y obtenemos \begin{equation}\label{eq:ultima} \frac{c_1}{c_2}=\frac{d_1}{d_2}. \end{equation} Finalmente, de las ecuaciones \eqref{eq:T0} y \eqref{eq:T1} pueden ser reescritas de la forma \[ \dfrac{b_{1}}{b_{2}}=\dfrac{d_{1}}{d_{2}}\quad \text{ y } \quad \dfrac{a_{1}}{a_{2}}=\dfrac{c_{1}}{c_{2}}, \] respectivamente. De la ecuación \eqref{eq:ultima} se sigue que \[ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{d_1}{d_2}=\lambda. \]

Sería útil y optimizaría el estudio de las transformaciones de Möbius, si cada una de ellas fuese idéntica a una, cuyo determinante es cierto valor real, ¡tal vez el $1$! Efectivamente, toda transformación de Möbius es idéntica a otra transformación de Möbius, cuyo determinante es igual a $1.$ La construcción de dicha transformación es sencilla. Comenzamos por consideramos una transformación de Möbius $T,$ donde su regla de asignación está dada por \[ T(z)= \dfrac{az+b}{cz+d}. \]

Como el determinante ${\rm det}(T)\neq 0,$ entonces definimos el complejo no nulo \[ \lambda=\frac{1}{\sqrt{det (T)}}\in\mathbb{C}^{\ast}. \]

Así, construimos la transformación de Möbius $\lambda T,$ dada por la regla de asignación \[ \lambda T(z)= \dfrac{\lambda az+\lambda b}{\lambda cz+\lambda d}, \] la cual tiene determinante ${\rm det}(\lambda T)=1$ y es idéntica a la transformación de Möbius $T.$

Una de las implicaciones del hecho anterior es que cada elemento del grupo transformaciones de Möbius $\mathcal{M}$ (véase ecuación \eqref{eq:grupo_transformaciones_de_Mobius_notacion}) tiene determinante igual a $1,$ es decir,

\begin{equation}\label{definicion:mobius_determinante_1} \mathcal{M}=\left\{[T] : T \text{ es una transformación de Möbius tal que } {\rm det}(T)=1\right\}. \end{equation}

¡Para recordar! La clase $[T]$ está conformada por las transformaciones de Möbius $T$ y $-T.$ Si $T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d},$ entonces $-T(z)=\dfrac{-az-b}{-cz-d}.$

¡Importante! Abusaremos del lenguaje y a lo largo del texto nos referiremos la clase de equivalencia $[T]\in \mathcal{M}$ como la transformación de Möbius $T.$ De ser necesario precisaremos que nos estamos refiriendo a las transformaciones $T$ y $-T,$ las cuales son idénticas.

Propiedades

Curiosamente, cualquier transformación de Möbius puede ser escrita como la composición finita de las transformaciones canónicas.

Toda tranformación de Möbius se puede escribir como la composición finita de translaciones, rotaciones, homotecias y la involución.

Tomemos una transformación de Möbius $T$ dada por la regla de asignación \[ T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}. \] Debemos estudiar los siguientes dos casos.

Caso 1. Si el coeficiente $c=0,$ entonce la regla de asignación de la tranformación $T$ puede ser reescrita como sigue \[ T(z)=\dfrac{az}{d}+\dfrac{b}{d}. \] Así, concluimos que $T$ es una composición de una rotación seguida de una homotecia y una translación.

Caso 2. Contrariamente, si el coeficiente $c\neq 0,$ entonces podemos reescribir la regla de correspondencia de $T$ como sigue

\begin{equation}\label{eq:det_no_cero} \begin{split} T(z) &=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{az+b+\dfrac{ad}{c}-\dfrac{ad}{c}}{cz+d}=\frac{\dfrac{a}{c}(cz+d)+b-\dfrac{ad}{c}}{cz+d},\\ &=\dfrac{a}{c}+\frac{\dfrac{bc-ad}{c}}{cz+d}. \end{split} \end{equation}

Esta última ecuación implica que la transformación de Möbius $T$ es una composición finita de translaciones, rotaciones, homotecias y la inmersión.

De la ecuación \eqref{eq:det_no_cero} deducimos fácilmente que si el determinante de una transformación de Möbius es igual a cero, entonces esta es una transformación constante. Más precisamente:

Si el determinante ${\rm det}(T)$ de una transformación de Möbius $T$ es igual a cero, entonces $T$ es una función constante.

Al igual que la proyección estereográfica, las transformaciones de Möbius también preservan los círculos generalizados del plano complejo extendido $\widehat{\mathbb{C}}.$ Recordemos que un círculo generalizado sobre el plano complejo extendido $\widehat{\mathbb{C}}$ es una circunferencia euclidiana en $\mathbb{C}$ o, una línea recta euclidiana en $\mathbb{C}$ junto con el punto $\infty$ (véase Definición 3, Cáp. 1).

Las translaciones, rotaciones, dilataciones y la involución preservan los círculos generalizados sobre el plano complejo extendido $\hat{\mathbb{C}}.$

Verificaremos el teorema para las translaciones y la inmersión, los casos restantes quedan en manos del lector para su verificación.

La transformación $T$ es una translación. Consideremos el círculo generalizado $\mathcal{C}$ sobre el plano complejo extendido $\widehat{\mathbb{C}}$ y la translación dada por \[ T(z)=z+z_{0}, \] para algún $z_{0}=x_{0}+y_{0}i\in\mathbb{C}^{\ast}.$ Estudiamos los siguientes dos casos sobre $\mathcal{C}.$

Si $\mathcal{C}$ es una línea recta euclidiana. Supongamos que el complejo $z=x+yi$ está en $\mathcal{C},$ entonces los reales $x$ y $y$ satisfacen la ecuación \begin{equation}\label{eq:linea_recta_prueba_teorema} Bx+Cy+D=0, \end{equation} para algunos reales $B,C,D\in\mathbb{R},$ tal que $B$ o $C$ es no nulo. Veamos que para el complejo \[ T(z)=z+z_{0}=u+vi \] los valores reales $u$ y $v$ también satisfacen una ecuación general como la que se describe en \eqref{eq:linea_recta_prueba_teorema}. Dado que

#$T(z)=z+z_{0}= (x+x_{0})+(y+y_{0})i=u+vi,$#

entonces \[ u=x+x_{0} \quad \text{ y } \quad v=y+y_{0}. \] Ahora, sustituimos estos términos en la ecuación \eqref{eq:linea_recta_prueba_teorema}, realizamos operaciones y obtenemos \begin{equation*} \begin{split} B(u-x_{0})+C(v-y_{0})+D&=0,\\ Bu+Cv+(D-Bx_{0}-Cy_{0})&=0. \end{split} \end{equation*} De la anterior igualdad, podemos concluir que la imagen $T(\mathcal{C})$ es también una línea recta euclidiana.

Si $\mathcal{C}$ es un circunferencia euclidiana. Supongamos que el complejo $z$ está sobre $\mathcal{C},$ es decir, satisface la ecuación \begin{equation}\label{eq:circunferencia_euclidiana_prueba_teorema} |z-w_{0}|=r, \end{equation} para algún complejo $w_{0}\in\mathbb{R}$ y un real $r>0.$ Veamos que el complejo \[ w=T(z)=z+z_{0}, \] satisface una ecuación como la que se describe en \eqref{eq:circunferencia_euclidiana_prueba_teorema}. Despejamos $z$ en la igualdad anterior, reemplazamos en la ecuación de la circunferencia euclidiana $\mathcal{C}$ y obtenemos \begin{equation*} \begin{split} |z-w_{0}| & =r,\\ |w-z_{0}-w_{0}|&=r,\\ |w-(z_{0}+w_{0})|&=r. \end{split} \end{equation*} De la anterior relación, se concluye que la imagen $T(\mathcal{C})$ consiste de una circunferencia euclidiana con centro $(z_{0}+w_{0})$ y radio $r.$

Si $T$ es la involución. Tomemos la inmersión dada por \[ T(z)=\frac{1}{z}, \] y un círculo generalizado $\mathcal{C}$ sobre el plano complejo extendido $\hat{\mathbb{C}}.$ Veamos que la imagen $T(\mathcal{C})$ es también un círculo generalizado. Recordemos que $\mathcal{C}$ puede ser representado mediante la ecuación general

\begin{equation}\label{eq:circulo_generalizado} A(x^2+y^{2})+2Bx+2Cy+D=0, \end{equation}

siendo $A,B,C$ y $D$ valores reales. Si $A=0$ y al menos uno de los términos $B$ o $C$ es no nulo, entonces $\mathcal{C}$ es una línea recta euclidiana. Contrariamente, si $A\neq 0$ y $B^{2}+C^2-AD>0,$ entonces $\mathcal{C}$ es un circunferencia euclidiana.

Ahora, consideremos el complejo no nulo $z=x+yi$ tal que $x$ y $y$ satisfacen la ecuación definida en \eqref{eq:circulo_generalizado}. Veamos que para el complejo \[ T(z)=\dfrac{1}{z}=u+vi \] los valores reales $u$ y $v$ también satisfacen una ecuación general como la que se describe en \eqref{eq:circulo_generalizado}. Dado que $T(z)=\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2},$ entonces

\begin{equation} u=\frac{x}{x^2+y^2}, \quad v=\frac{-y}{x^2+y^2}\quad \text{y} \quad \left|\frac{1}{z}\right|^2=u^2+v^2=\dfrac{1}{x^2+y^2}. \end{equation}

Ahora, sustituimos estos términos en la ecuación \eqref{eq:circulo_generalizado} y obtenemos

\[ A\left(\frac{1}{u^2+v^2}\right)+2B\left(\frac{u}{u^2+v^2}\right)+2C\left(\frac{-v}{u^2+v^2}\right)-D=0. \]

Al simplificar la expresión anterior obtenemos la nueva expresión

\begin{equation}\label{eq:circulo_generalizado_aplicar_inmersion} D(u^2+v^2)-2Bu+2Cv-A =0. \end{equation}

Debemos explorar los siguientes casos.

Caso 1. Si $A=0,$ entones el círculo generalizado $\mathcal{C}$ es un recta y su ecuación es de la forma \[ 2Bx+2Cy+D=0, \] tal que al menos uno de los términos $B$ o $C$ es no nulo. De la ecuación \eqref{eq:circulo_generalizado_aplicar_inmersion} se sigue que las parejas $(u,v)$ en $T(\mathcal{C})$ satisfacen la igualdad \[ D(u^2+v^2)-2Bu+2Cv=0. \] Si $D=0,$ entonces la imagen $T(\mathcal{C})$ es una línea recta euclidiana. Contrariamente, si $D\neq 0,$ entonces en esta última expresión completamos cuadrados, computamos y obtenemos

\begin{equation*} \begin{split} u^2-\frac{2Bu}{D}+\frac{B^2}{D^2} +v^2+\frac{2Cv}{D}+\frac{C^2}{D^2}&=\frac{B^{2}}{D^{2}}+\frac{C^2}{D^2},\\ \left(u-\frac{B}{D}\right)^2+\left(v+\frac{C}{D}\right)^2&=\frac{B^2+C^2}{D^2}\\ \end{split} \end{equation*}

De la anterior igualdad, podemos concluir que la imagen $T(\mathcal{C})$ es una circunferencia euclidiana.

Caso 2. Si $A\neq 0,$ entonces el circulo generalizado $\mathcal{C}$ es una circunferencia euclidiana, cuya ecuación está dada por \[ A(x^2+y^2)+2Bx+2Cy+D=0, \] tal que $B ^2+C^2-AD>0.$ Entonces las parejas $(u,v)$ en la imagen $T(\mathcal{C})$ satisfacen la igualdad \[ D(u^2+v^2)-2Bu+2Cv-A =0. \] Si $D=0,$ entonces la imagen $T(\mathcal{C})$ es una línea recta euclidiana. Contrariamente, si $D\neq 0,$ dividmos entre $D$ ambos miembros de la igualdad, completamos cuadrados, realizamos operaciones y obtenemos

\begin{equation*} \begin{split} D(u^2+v^2)-2Bu+2Cv-A &=0,\\ u^2-\frac{2Bu}{D}+\frac{B^2}{D^2} +v^2+\frac{2Cv}{D}+\frac{C^2}{D^2}&=\frac{B^{2}}{D^{2}}+\frac{C^2}{D^2}+\frac{A}{D},\\ \left(u-\frac{B}{2D}\right)^2+\left(v+\frac{C}{2D}\right)^2&=\frac{B^2+C^2+AD}{D^2}.\\ \end{split} \end{equation*}

De esta última expresión, podemos concluir que $T(\mathcal{C})$ es una circunferencia euclidiana, pues $B^2+C^2+AD>0.$ Los anteriores argumentos, prueban que la inmersión envía círculos generalizados sobre círculos generalizados.

Como consecuencia del anterior resultado y el Teorema 2, la imagen de cualquier círculo generalizado bajo cualquier transformación de Möbius es nuevamente un círculo generalizado, i.e., $T(\mathcal{C})$ es un círculo generalizado del plano Complejo Extendido $\widehat{\mathbb{C}}.$

El grupo de transformaciones de Möbius $\mathcal{M}$ actúa sobre el conjunto de todos los círculos generalizados del plano Complejo Extendido $\widehat{\mathbb{C}}.$

Puntos fijos

Durante el estudio del análisis real, nos planteamos interrogantes sobre los puntos fijos de las funciones real valuadas. Esta es nuestra motivación para estudiar los puntos fijos de las transformaciones de Möbius. Recordemos que $z\in \widehat{\mathbb{C}}$ es un punto fijo de la transformación de Möbius $T,$ si $T(z)=z.$

El primer interrogante a abordar es: ¿cuántos y cuáles son los puntos fijos de una transformación de Möbius diferente de la indentidad? La siguiente exploración nos conducirá a la conlusión de que cada transformación de Möbius diferente de la identidad tiene a lo más dos puntos fijos.

Si tomamos una transformación de Möbius $T\neq {\rm Id},$ dada por la regla de asignación \[ T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}, \] y suponemos que $z\in\widehat{\mathbb{C}}$ es un punto fijo de $T,$ entonces debemos estudiar la igualdad $T(z)=z.$

Si el coeficiente $c=0,$ entonces $T(\infty)=\infty.$ Esto significa que $z=\infty$ es un punto fijo de $T.$ Adicionalmente, al considerar $T(z)=z$ con $z\neq\infty,$ debemos despejamor $z$ en la igualdad \[ \dfrac{az+b}{d}=z. \] Así, concluimos que otro punto de la transformación de Möbius es número complejo \[ z=\dfrac{b}{a-d}. \]
Contrariamente, si el coeficiente $c\neq 0,$ entonces despejamos $z$ en la ecuación $T(z)=z$ y obtenemos \begin{equation*} \begin{split} \frac{az+b}{cz+d}&=z,\\ az+b & =cz^2+zd,\\ cz^2+z(d-a)-b&=0.\ \end{split} \end{equation*} Las soluciones para esta última ecuación cuadrática corresponden a los puntos fijos de $T,$ es decir, \[ z=\dfrac{-(d-a)\pm\sqrt{(d-a)^2+4cb}}{2c}. \]

La única transformación de Möbius que fija los puntos $\textbf{0}, 1$ e $\infty$ es la identidad.

Supongamos que existe una de transformación de Möbius $T$ con regla de asignación \[ T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}, \] tal que $T$ fija a $\textbf{0}, 1$ e $\infty,$ es decir \[ T(\textbf{0})=\textbf{0}, \quad T(1)=1 \quad \text{ y } \quad T(\infty)=\infty. \]

Dado que la transformación $T$ fija al elemento $\infty,$ entonces el coeficiente $c=\textbf{0}.$ Por lo tanto la regla de asignación se reescribe como \[ T(z)=\dfrac{a}{d}z+\dfrac{b}{d}. \] Ahora, como $T$ fija a $\textbf{0},$ entonces \[ T(\textbf{0})=\textbf{0}=\dfrac{b}{d}. \] Esta última igualdad implica que $b=0.$ Así, la regla de asignación de $T$ se reescribe de la siguiente manera \[ T(z)=\dfrac{az}{d}. \]

Finalmente, como la transformación $T$ fija al $1,$ es decir \[ T(1)=\dfrac{a}{d}=1, \] lo cual implica la iguadad entre coeficientes $a=d.$ De allí, se concluye que la regla de asignación de $T$ está dada por $T(z)=z,$ para cada $z\in\widehat{\mathbb{C}}.$

Como consecuencia del anterior resultado, siempre nos es posible construir una transformación de Möbius $T$ que envíe tres puntos diferentes $z_{1},z_{2},z_{3}\in\widehat{\mathbb{C}}$ en tres puntos diferentes $w_{1},w_{2},w_{3}\in\widehat{\mathbb{C}},$ satisfaciendo $T(z_{i})=w_{i},$ para cada $i\in\{1,2,3\}.$

Consideremos dos tripletas $(z_1,z_2,z_3)$ y $(w_1,w_2,w_3)$ conformado por puntos del plano complejo extendido $\hat{\mathbb{C}}$ y además, los puntos que conforman cada tripleta son diferentes, entonces existe una única transformación de Möbius $T$ tal que $T(z_i)=w_i,$ para cada $i\in\{1,2,3\}.$

Para construcción de la transformación de Möbius mencionada en el teorema seguiremos una estrategia que consiste por dos pasos.

Paso 1. Construiremos dos transformaciones de Möbius $S$ y $M,$ con las siguientes propiedades:

\begin{equation} \begin{array}{ccc} S(z_1)=\textbf{0},&S(z_2)=1, & S(z_3)=\infty;\\ M(w_1)=\textbf{0}, & M(w_2)=1,& M(w_3)=\infty. \end{array} \end{equation}

Así, obtendremos la transformación de Möbius dada por la composición $M^{-1}\circ S,$ la cual satisface \[ M^{-1}\circ S(z_{i})=w_{i},\, \text{para cada}\, i\in\{1,2,3\}. \]

Consideremos el caso en que ninguno de los puntos que conforma la tripleta $(z_1,z_2,z_3)$ es $\infty,$ entonces definimos la transformación de Möbius $S$ dada por la regla de asignación \begin{equation}\label{eq:Mobius_S} S(z)=\frac{(z_2-z_3)}{(z_2-z_1)}\frac{(z-z_1)}{(z-z_3)}. \end{equation} Notemos que la transformación de Möbius $S$ envía a los puntos $z_1,$ $z_2$ y $z_3$ en los puntos $0,$ $1$ e $\infty,$ respectivamente, i.e., \[ S(z_1)=0,\quad (z_2)=1 \quad \text{ y } \quad S(z_3)=\infty. \] Contrariamente, si alguno de los puntos de la tripleta $(z_1,z_2,z_3)$ es $z_{i}=\infty,$ para algún $i\in\{1,2,3\},$ entonces definimos la transformación $S$ como está descrita en la ecuación \eqref{eq:Mobius_S}, pero suprimirmos los dos paréntesis en los que aparece este término $z_{i}.$ En el caso particular, si $z_1=\infty,$ entonces \[ S(z)=\frac{(z_2-z_3)}{(z-z_3)}. \]

Usando las ideas previas en la construcción de la transformación $S,$ podemos definir una transformación de Möbius $M$ tal que

\[ M(w_1)=0,\quad M(w_2)=1 \quad \text{ y } \quad M(w_3)=\infty. \]

Finalmente, consideramos la función composición $M^{-1}\circ S,$ la cual es también es una transformación de Möbius que satisface \[ M^{-1}\circ S(z_i)=w_i, \, \text{para cada} \, i\in\{1,2,3\}. \]

Paso 2. Probaremos que la única función que satisface las condiciones del teorema es la composición \begin{equation} T=M^{-1}\circ S. \end{equation}

Supongamos que existe otra transformación de Möbius $\overline{T}$ tal que \[ \overline{T}(z_i)=w_i, \, \text{para cada} \, i\in\{1,2,3\}. \] Entonces la composición $\overline{T} \circ M\circ S^{-1}$ es una transformación de Möbius que fija a los puntos $\textbf{0},$ $1$ e $\infty.$ Del Teorema (5), se sigue que la transformación $T\circ M \circ S^{-1}$ es la función identidad $Id,$ es decir, $T\circ M \circ S^{-1}(z)=Id(z)$ para cada $z\in\widehat{\mathbb{C}}.$ Por lo tanto, $\overline{T}=M^{-1}\circ S.$

De la geometría euclidiana sabemos que tres puntos distintos $z_{1},z_{2},z_{3}$ del plano Complejo $\mathbb{C}$ define una circunferencia euclidiana. Incluso más, dados cualesquiera tres puntos distintos $z_{1},z_{2},z_{2}$ en el plano Complejo Extendido $\widehat{\mathbb{C}}$ podemos trazar un círculo extendido que pasa por los mencionados tres puntos. Ahora, si consideramos dos círculos generalizados $\mathcal{C}_{1}$ y $\mathcal{C}_{2}$ del plano Complejo Extendido $\widehat{\mathbb{C}},$ entonces el Teorema anterior y el Teorema \ref{t:accion_mobius_sobre_circulos_generalizados}, nos garantiza la existencia de una transformación de Möbius $T$ que envía al círculo generalizado $\mathcal{C}_{1}$ sobre el círculo generalizado $\mathcal{C}_{2}.$ El siguiente teorema, enuncia esta afirmación.

El grupo de transformaciones de Möbius $\mathcal{M}$ actúa transitivamente sobre el conjunto de todos los círculos generalizados del plano Complejo Extendido $\widehat{\mathbb{C}}.$ En otras palabras, dados los círculos generalizados $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ sobre $\widehat{\mathbb{C}},$ entonces existe una transformación de Möbius $T$ que envía al círculo generalizado $\mathcal{C}_1$ sobre el círculo generalizado $\mathcal{C}_2.$

Consideremos las tripletas $$(z_1,z_2,z_3) \quad \text{y} \quad (w_1,w_2,w_3)$$

conformadas por puntos diferentes, tales se encuentran sobre los círculos generalizados $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2,$ respectivamente.

Del Teorema 6, existe una transformación Möbius $T$ tal que $T(z_i)=w_i$ para cada $i\in\{1,2,3\}.$ Dado que las transformaciones Möbius envían círculo generalizados sobre círculos generalizados (véase Teorema Teorema 4) y, como $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ están determinados por las tripletas $(z_1,z_2,z_3)$ y $(w_1,w_2,w_3),$ respectivamente, entonces $T(\mathcal{C}_1)=\mathcal{C}_2.$

La razón cruzada

En el estudio de la geometría euclidiana es natural preguntarse sobre aquellas relaciones que son invariantes bajo transformaciones afines. Esta clase interrogantes también los podemos extiender al área de las transformaciones de Möbius. En el contexto de la geometría proyectiva aparece el concepto de razón cruzada o razón doble (véase e.g. \cite[p. 77]{CoxEucli} \cite[p. 265]{Ceber}), el cual es un variante bajo transformaciones de Möbius.

La razón cruzada o razón doble asociada a cuatro puntos distintos $z_1,$ $z_2,$ $z_3$ y $z_4$ en $\widehat{\mathbb{C}},$ es \begin{equation}\label{eq:razon_cruzada} (z_1,z_2;z_3,z_4):=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}. \end{equation} Si algún $z_j$ es $\infty,$ entonces la razón cruzada está dada mediante \begin{equation*} \begin{split} (\infty,z_2;z_3,z_4)=& \frac{(z_3-z_4)}{(z_2-z_3)},\\ (z_1,\infty;z_3,z_4)=&-\frac{(z_3-z_4)}{(z_4-z_1)},\\ (z_1,z_2;\infty,z_4)=&-\frac{(z_1-z_2)}{(z_4-z_1)},\\ (z_1,z_2;z_3,\infty)=&\frac{(z_1-z_2)}{(z_2-z_3)}.\\ \end{split} \end{equation*}

Al fijar los trez puntos $z_2,$ $z_3$ y $z_4$ de la razón cruzada podemos definir la transformación de Mobius \[ T(z)=(z,z_2;z_3,z_4)=\frac{(z-z_3)(z_2-z_4)}{(z-z_2)(z_3-z_4)}, \] la cual envía $z_2,$ $z_3$ y $z_4$ sobre $\infty,$ $0$ y $1,$ respectivamente.

Las transformaciones de Möbius preservan la razón cruzada, es decir si, dada la transformación de Möbius $T$ y los cuatros puntos distintos $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\in\widehat{\mathbb{C}},$ entonces se satisface la igualdad \[ (z_1,z_2,z_3,z_4)=(T(z_1),T(z_2);T(z_3),T(z_4)). \]

El siguiente computo es necesario para la verificación de la igualdad. Tomemos transformación de Möbius $T$ dada por \[ T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}, \] entonces para cualesquiera $i\neq j\in\{1,2,3,4\}$ se tiene que

\begin{equation}\label{t:cuentas_razon_cruzada} \begin{split} T(z_{i})-T(z_{j}) &=\dfrac{az_{i}+b}{cz_{i}+d}-\frac{az_{j}+b}{cz_{j}+d},\\ &\\ &= \frac{(az_{i}+b)(cz_{j}+d)-(az_{j}+b)(cz_{i}+d)}{(cz_{i}+d)(cz_{j}+d)},\\ &\\ &=\frac{\cancel{\color{red}acz_{i}z_{j}}+adz_{i}+bcz_{j}+\cancel{\color{blue}bd}\cancel{-\color{red}acz_{i}z_{j}}-adz_{j}-bcz_{i}\cancel{\color{blue}-bd}}{(cz_{i}+d)(cz_{j}+d)},\\ &\\ &=\frac{z_{i}(ad-bc)-z_{j}(ad-bc)}{(cz_{i}+d)(cz_{j}+d)},\\ &\\ &=\frac{z_{i}-z_{j}}{(cz_{i}+d)(cz_{j}+d)}.\\ \end{split} \end{equation}

Sustituyendo la relación anterior en la definición de razón cruzada se tiene que

\begin{equation} \begin{split} (T(z_1),T(z_2);T(z_3),T(z_4))&= \dfrac{(T(z_1)-T(z_3))(T(z_2)-T(z_4))}{(T(z_1)-T(z_2))(T(z_3)-T(z_4))},\\ &\\ &=\dfrac{\dfrac{(z_{1}-z_{3})}{\cancel{\color{red}(cz_{1}+d)}\cancel{\color{blue}(cz_{3}+d)}}\dfrac{(z_{2}-z_{4})}{\cancel{\color{orange}(cz_{2}+d)}\cancel{\color{pink}(cz_{4}+d)}}}{\dfrac{(z_{1}-z_{2})}{\cancel{\color{red}(cz_{1}+d)}\cancel{\color{orange}(cz_{2}+d)}}\dfrac{(z_{3}-z_{4})}{\cancel{\color{blue}(cz_{3}+d)}\cancel{\color{pink}(cz_{4}+d)}}},\\ &\\ &=\dfrac{(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})},\\ &\\ &=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}). \end{split} \end{equation}

Transformaciones de Möbius como matrices

En algunos casos es dificil tratar los grupos de funciones y, para sortear las incomodidades el álgebra nos indica que tal vez podamos entender este grupo desde otra perspectiva o, una mejor representación. Vamos a identificar el grupo de las transformaciones de Möbius $\mathcal{M}$ (véase ecuación \eqref{definicion:mobius_determinante_1}) con un grupo cociente de matrices conocido como el Grupo Proyectivo Lineal Especial ${\rm PSL}(2,\mathbb{C}).$ Recordemos que el conjunto $\mathfrak{M}$ conformado por las matrices de $2\times 2$ \[ A=\left (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right), \] con coeficientes $a,b,c,d\in\mathbb{C},$ tiene estructura de $\mathbb{R}$-espacio vectorial. Naturalmente, identificamos a $\mathfrak{M}$ con $\mathbb{C}^4.$ Más precisamente, la matriz $A=\left (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right) $ le correspondemos la $4$-upla $(a,b,c,d).$ Asi, $\mathfrak{M}$ está dotado con la topologia inducida por la norma \[ |A|:=\sqrt{|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2}. \]

Por otro lado, la función determinante ${\rm det}: \mathfrak{M}\to \mathbb{C},$ definida mediante \begin{equation}\label{eq:funcion_determinante} {\rm det}\left (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right)=ad-bc, \end{equation} es una aplicación continua; pues es una función polinomial compleja de cuatro variables. La imagen inversa del subconjunto abierto $\mathbb{C}^{\ast}$ bajo ${\rm det}$ \[ {\rm det}^{-1}(\mathbb{C}^{\ast})=\{A\in \mathfrak{M}:{\rm det}(A)\neq 0\}, \] es un subconjunto abierto de $\mathfrak{M},$ conocido como Grupo Lineal General.

El Grupo Lineal General ${\rm GL}(2,\mathbb{C})$ es el conjunto conformado por las matrices de $2\times 2$ \[ A=\left (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right), \] con coeficientes $a,b,c,d\in\mathbb{C}$ y determinante ${\rm det}(A)=ad-bc\neq \textbf{0},$ junto con la operación usual de multiplicación de matrices.

Recordemos que el subconjunto abierto $\mathbb{C}^{\ast}$ de $\mathbb{C}$ con el producto complejo es un grupo. Usando las propiedades del determinante de matrices se verifica que la función determinante \begin{equation}\label{eq:funcion_determinante_homomorfismo} {\rm det}:{\rm GL}(2,\mathbb{C})\to \mathbb{C}^{\ast}, \end{equation} es un homomorfismo sobreyectivo de grupos. Del Primer Teorema de Isomorfismos de grupo, se sigue que el kernel del determinante es un subgrupo

\[ {\rm ker}({\rm det})=\left\{A\in {\rm GL}(2,\mathbb{C}): {\rm det}(A)=1\right\}\lt{\rm GL}(2,\mathbb{C}), \]

y es como conocido como Grupo Lineal Especial.

El Grupo Lineal Especial ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$ es el conjunto conformado por las matrices de $2\times 2$ \[ A=\left (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right), \] con coeficientes $a,b,c,d\in\mathbb{C}$ y determinante ${\rm det}(A)=ad-bc=1,$ junto con la operación usual de multiplicación de matrices.

Ahora, consideramos el grupo multiplicativo $\{1,-1\},$ el cual actúa sobre ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$ por multiplicación escalar. Más precisamente, la función $\alpha:\{1,-1\}\times {\rm SL}(2,\mathbb{C})\to {\rm SL}(2\mathbb{C}),$ dada por \[ \alpha(\pm 1,A)=\pm 1A \] es una acción. El espcio cociente \[ {\rm PSL}(2,\mathbb{C}):={\rm SL}(2,\mathbb{C})/\{1,-1\}, \] tiene estructura de grupo con la operación multiplicación matricial usual entre los representantes de las clases, i.e., \begin{equation*} [A][B]:=[AB], \end{equation*} para cualesquiera dos clases $[A],[B]\in {\rm PSL}(2,\mathbb{C}).$ Este nuevo grupo es conocido como Grupo Proyectivo Lineal Especial.

El Grupo Proyectivo Lineal Especial es el espacio cociente \[ {\rm PSL}(2,\mathbb{C}):={\rm SL}(2,\mathbb{C})/\{1,-1\} \] con la operación binaria dada por \begin{equation}\label{eq:proyectivo_lineal_especial} [A][B]:=[AB], \end{equation} para cualesquiera dos clases $[A],[B]\in {\rm PSL}(2,\mathbb{C}).$

Nótese que la clase $[A]\in{\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ está conformada por las dos matrices \[ [A]=\{A,-A\}. \]

Ya estamos preparados para identificar el grupo de transformaciones de Möbius $\mathcal{M}$ como un Grupo Proyectivo Lineal Especial ${\rm PSL}(2,\mathbb{C}).$ Naturalemente, dada la clase $[A]\in{\rm PSL}(2,\mathbb{C}),$ los coeficientes de una matriz $A$ pueden ser pensados como los coeficientes una transformación de Möbius $T_{A}.$ Más precisamente, la matriz \[ A=\left (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right), \] define la transformación de Möbius $T_{A}$ dada por la regla de asignación \[ T_{A}(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}. \] Notemos que la matriz \[ -A=\left (\begin{matrix} -a & -b \\ -c & -d \end{matrix}\right), \] define la transformación de Möbius $T_{-A}$ dada por \[ T_{-A}(z)=\dfrac{-az-b}{-cz-d}=\dfrac{-(az+b)}{-(cz+d)}=T_{A}(z). \]

Sin embargo, ambas matrices $A,-A$ pertenecientes a la clase $[A]$ definen transformaciones de Möbius $T_{A}$ y $T_{-A},$ respectivamente, que son idénticas y, a esta clase la denotamos mediante $T_{[A]}.$ Por lo tanto, la clase $[A]\in{\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ define la transformación de Möbius $T_{[A]}.$ Asi, tenemos la función $\psi: {\rm PSL}(2,\mathbb{C})\to \mathcal{M},$ dada por \[ \psi([A])=T_{[A]}. \]

La función $\psi : {\rm PSL}(2,\mathbb{C}) \to \mathcal{M}$ es un isomorfismo de grupos.

Primero verificaremos que $\psi$ es un homeomofismo de grupos. Consideremos las clases de matrices \[ [A_{1}]=\left[\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{matrix}\right] \quad \text{y } \quad [A_{2}]=\left[\begin{matrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{matrix}\right] \] en ${\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ y veamos que se tiene la igualdad \[ \psi([A_{1}][A_{2}])=\psi([A_{1}A_{2}])=\psi([A_1])\circ \psi ([A_2]). \]

Dado que el producto de clases de matrices $[A_{1}][A_{2}]=[A_{1} A_{2}]$ está dado por \[ [A_{1} A_{2}]=\left[\begin{matrix} a_1a_2+b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2& c_1b_2+d_1d_2 \end{matrix}\right], \] entonces $\psi$ asigna a la clase $[A_{1} A_{2}]$ la clase de la transformación de Möbius $\psi([A_{1} A_{2}])=T_{[A_{1} A_{2}]},$ la cual está definida mediante

\begin{equation}\label{eq:psi_1} T_{[A_{1} A_{2}]}(z)=\dfrac{(a_1a_2+b_1c_2)z+(a_1b_2+b_1d_2)}{(c_1a_2+d_1c_2)z+(c_1b_2+d_1d_2)}. \end{equation}

Por otro lado, $\psi$ asigna a las clases de matrices $[A_{1}]$ y $[A_{2}]$ las transformaciones de Möbius $T_{[A_1]}$ y $T_{[A_2]},$ respectivamente, donde

\begin{equation*} T_{[A_{1}]}(z)=\dfrac{a_1z+b_1}{c_1z+d_1} \quad \text{ y } \quad T_{[A_{2}]}(z)=\dfrac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}. \end{equation*}

Entonces, la función composición $\psi([A_{1}])\circ \psi([A_{2}])=T_{[A_{1}]}\circ T_{[A_{2}]},$ donde

\begin{equation}\label{eq:psi_2} \begin{split} T_{[A_{1}]}\circ T_{[A_{2}]}(z)&= \dfrac{a_1\left(\dfrac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}\right)+b_1}{c_1\left(\dfrac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}\right)+d_1},\\ &\\ &=\dfrac{\dfrac{a_{1}(a_2z+b_2)+b_{1}(c_2z+d_2)}{\cancel{\color{red}c_2z+d_2}}}{\dfrac{c_{1}(a_2z+b_2)+d_{1(c_2z+d_2)}}{\cancel{\color{red}c_2z+d_2}}},\\ &\\ &= \frac{(a_1a_2+b_1c_2)z+(a_1b_2+b_1d_2) }{(c_1a_2+d_1c_2)z+(c_1b_2+d_1d_2)}. \end{split} \end{equation}

Comparando las ecuaciones \eqref{eq:psi_1} y \eqref{eq:psi_2} se concluye que

\[ \psi([A_{1} A_{2}])=T_{[A_{1} A_{2}]}=T_{[A_1]}\circ T_{[A_2]}=\psi([A_1])\circ \psi([A_2]). \]

En otras palabras, la función $\psi$ es un homomorfismo de grupos.

Sobreyectividad. Es muy sencilla de verificar. Si consideramos transformación de Möbius $T\in \mathcal{M},$ donde $T$ está dada por la regla de asignación \[ T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}, \] basta tomar la clase de matrices dada por los coeficientes de la transformación, es decir \[ [A]=\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]. \] Para esta clase se tiene $\psi([A])=[T].$

Inyectividad. Probaremos que el kernel de $\psi$ está conformado solo por la clase de la matriz identidad i.e., $\rm Ker(\psi)=\{[\rm Id]=\{\rm Id,-\rm Id\}\}.$ Tomemos la clase de matrices \[ [A]=\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]\in {\rm Ker}(\psi), \] entonces $\psi([A])=T_{[A]}$ es la clase conformada por la transformación identidad y menos identidad, es decir \[ T_{A}(z)={\rm Id}(z)=\dfrac{az +b}{ cz+d}=\dfrac{\pm 1z+0}{0z+\pm 1}. \] De esta última relación se deduce que los coeficienes de la transformación de Möbius $T$ satisfacen las igualdades \[ b=c=0 \quad \text{ y } \quad a=d=\pm 1. \] Por lo tanto, el kernel ${\rm Ker}(\psi)$ está conformado por la clase de la matriz identidad $[\rm Id],$ es decir ${\rm Ker}(\psi)=\{[\rm Id]\}.$

Clasificación de las transformaciones de Möbius

En adelante abusaremos del lenguaje y nos referiremos la clase de equivalencia $[T]\in \mathcal{M}$ como la transformación de Möbius $T.$

Las transformaciones de Möbius las podemos clasificar mediante conjugación y traza. Desde alguno de estos puntos de vista, cada transformación se sitúa como parabólica, eliptica, hiperbólica o loxodrómica. Esta asignación viene motivada por la clasificación de la cónicas.

Para la cónica $Q$ con excentriciad $\varepsilon$ se satisface:

Si $\varepsilon\lt 1,$ entonces la cónica $Q$ es una elipse.
$\varepsilon=1,$ entonces la cónica $Q$ es una parábola.
$\varepsilon]\gt 1,$ entonces la cónica $Q$ es una hipérbola.

Recordemos que todos los puntos de una cónica $Q\subset\mathbb{R}^{2}$ satisfacen que el cociente entre sus distancias a un punto fijo (foco) y a una recta fija (directriz) es siempre el mismo número $\varepsilon.$ A este número lo conocemos como la excentricidad de la cónica.

Clasificación mediante conjugación

Recordemos que cualquier transformación de Möbius $T$ diferente de la identidad tiene a lo más dos puntos fijo. Vamos a conjugar a $T$ para entenderla como una translación o una homotecia. Más precisamente, vamos a construir adecuandamente otra transformación de Möbius $M$ tal que $M^{-1} \circ T\circ M$ es una translación o una homotecia.

Consideremos las transformaciones de Möbius $T$ y $M.$ Diremos que $T$ es conjugada a $M$ en ${\rm PSL}(2,\mathbb{C}),$ si existe una transformación $\varphi \in{\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ tal que $\varphi^{-1}\circ T \circ \varphi=M.$

Para iniciar vamos a introducir un resultado que relaciona los puntos fijos de una transformación de Möbius y su conjugada.

Consideremos las transformaciones de Möbius $T$ y $\varphi.$ El punto $z_0\in\widehat{\mathbb{C}}$ es un punto fijo de la transformación de Möbius $\varphi^{-1}\circ T\circ \varphi,$ si y solo si, $\varphi(z_0)$ es un punto fijo de $T.$

El elemento $z_0\in\widehat{\mathbb{C}}$ es un punto fijo de la composición $\varphi^{-1}\circ T\circ \varphi,$ si y solo si, $\varphi^{-1}\circ T\circ \varphi(z_0)=z_0,$ si y solo si, $T\circ \varphi(z_0)=\varphi(z_0),$ si y solo si, $\varphi(z_0)$ es un punto fijo de $T.$

Si $T$ es una transformación de Möbius diferente de la identidad, entonces se satisface:

Si $T$ fija exactamente un punto, entonces $T$ es conjugada en ${\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ a una translación. En otras palabras, existe un elemento $\varphi\in{\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ tal que $\varphi^{-1}\circ T\circ \varphi$ está dada por \[ \varphi^{-1}\circ T\circ \varphi(z)=z+b, \] para algún $b\in\mathbb{C}^{\ast}.$
Contrariamente, si $T$ fija exactamente dos puntos, entonces existe un elemento $\varphi\in{\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ tal que la conjugación $\varphi^{-1}\circ T\circ \varphi$ está dada por la fórmula \[ \varphi^{-1}\circ T\circ \varphi(z)= \alpha z, \] para algún $\alpha\in\mathbb{C}^{\ast}.$

Consideremos la transformacionón de Möbius $T$ y supongamos que $T$ tiene exactamente uno punto fijo $z_0\neq \infty.$ Entonces consideramos la transformación de Möbius $\varphi$ dada por \[ \varphi(z)=\frac{1}{z-z_0}, \] la cual envía a $z_0$ en $\infty.$ Como $\varphi^{-1}(\infty)=z_{0}$ es un punto fijo de $T,$ del Lema 4 se sigue que $\infty$ es un punto fijo de la composición \[ \varphi\circ T \circ \varphi^{-1}. \]

Este hecho implica que la composición anterior es de la forma \[ \varphi\circ T\circ \varphi^{-1}(z)=a z+b, \] para algunos $a,b\in\mathbb{C}^{\ast}.$ Como la transformación $T$ solo tiene un punto fijo, entonces $\varphi\circ T \circ \varphi^{-1}$ también tiene un único punto fijo, ello implica que su regla de asignación está dada por \[ \varphi^{-1}\circ T\circ\varphi (z)=z+b. \]

Contrariamente, supongamos que la transformación de Möbius $T$ tiene exactamente dos puntos fijos $z_0\neq z_1\in \widehat{\mathbb{C}}.$ Entonces consideramos la transformación de Möbius $\varphi$ dada por \[ \varphi(z)= \frac{z-z_0}{z-z_1}, \] la cual envía a $z_0$ en $\textbf{0}$ y, a $z_1$ en $\infty,$ respectivamente. Dada que $\varphi^{-1}(\textbf{0})=z_{1}$ y $\varphi^{-1}(\infty)=z_{1}$ son puntos fijos de $T,$ del Lema 4 se sigue que la transformación de Möbius $\varphi^{-1} \circ T \circ \varphi$ tiene a $\textbf{0}$ y $1$ como puntos fijos. Ello implica que la regla de asignación de esta composición está dada por \[ \varphi^{-1} \circ T \circ \varphi(z)=\alpha z, \] para algún $\alpha\in\mathbb{C}^{\ast}.$

La transformación de Möbius $T\neq {\rm Id}$ es llamada parabólica si es conjugada en ${\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ a una translación. Contrariamente, si la transformación de Möbius $T\neq {\rm Id}$ es conjugada en $PSL(2,\mathbb{C})$ a una transformación $M$ dada por \[ M(z)= \alpha z, \] para algún $\alpha\in\mathbb{C}^{\ast}.$ Entonces:

Si $|\alpha|=1$ y $\alpha \neq 1,$ diremos que $T$ es elíptica.
Si $\alpha \in \mathbb{R},$ llamaremos a $T$ hiperbólica.
Si $|\alpha|\neq 1$ y $\alpha\notin \mathbb{R},$ diremos que $T$ es loxodrómica.

Clasificación mediante la traza

¡Importante! A lo largo de esta sección, a menos que lo especifiquemos, identificaremos el grupo de transformación de Möbius $\mathcal{M}$ con el grupo ${\rm PSL}(2,\mathbb{C}).$

La traza de la matriz \[ A=\left (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right), \] en $\mathfrak{M}$ es la suma de los términos sobre su diagonal principal, es decir, \[ {\rm tr}(A)=a+d. \] Algunas de las propiedades básicas de la traza son enunciadas a continuación. Invitamos al lector a verificarlas.

Dadas las matrices $A$ y $B$ en ${\rm GL}(2,\mathbb{C}),$ entonces se satisfacen las siguientes propiedades de la traza:

${\rm tr}(A+B)={\rm tr}(A)+{\rm tra}(B).$
${\rm tr}(\alpha A)=\alpha{\rm tr}(A),$ siendo $\alpha$ cualquier complejo no nulo.
${\rm tr}(AB)={\rm tra}(A){\rm tr}(B).$

Usando la propiedad 3. enunciada anteriormente y computando, podemos probar que la traza es invariante bajo conjugación en ${\rm GL}(2,\mathbb{C}).$ Más precisamente:

Dadas las matrices $A_{1}$ y $A_{2}$ en ${\rm GL}(2,\mathbb{C}),$ entonces \[ {\rm tr}(A_{2}^{-1}A_{1}A_{2})={\rm tr }(A_{1}). \]

Notemos que la igualdad ${\rm tr}(A_{2}^{-1}A_{1}A_{2})={\rm tr}(A_{1})$ es cierta, si y solo si, es cierta la igualdad

\begin{equation} \begin{split} {\rm tr}(A_{2}){\rm tr}(A_{2}^{-1}A_{1}A_{2})&={\rm tr}(A_{2}){\rm tr}(A_{1}),\\ {\rm tr}(A_{2}A_{2}^{-1}A_{1}A_{2})&={\rm tr}(A_{2}A_{1}),\\ {\rm tr}(A_{1}A_{2})&={\rm tr}(A_{2}A_{1}). \end{split} \end{equation}

Para probar el resultado, basta verificar que las trazas de los productos matriciales $A_{1}A_{2}$ y $A_{2}A_{1}$ coinciden. Si $A_{1}=\left (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{matrix}\right)$ y $A_{2}=\left (\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{matrix}\right) ,$ entonces

\[ A_{1} A_{2}=\left[\begin{matrix} {\color{red}a_{1}a_{2}}+{\color{blue}b_{1}c_{2}} & a_{1}b_{2}+b_{1}d_{2} \\ c_{1}a_{2}+d_{1}c_{2}& {\color{orange}c_{1}b_{2}}+{\color{green}d_{1}d_{2}} \end{matrix}\right] \quad \text{ y } \quad A_{2} A_{1}=\left[\begin{matrix} {\color{red} a_{2}a_{1}}+{\color{orange}b_{2}c_{1}} & a_{2}b_{1}+b_{2}d_{1} \\ c_{2}a_{1}+d_{2}c_{1}& {\color{blue}c_{2}b_{1}}+{\color{green}d_{2}d_{1}} \end{matrix}\right]. \]

Del computo anterior, se sigue que la traza de los productos matriciales $A_{1}A_{2}$ y $A_{2}A_{1}$ satisfacen que

\[ {\rm tr}(A_{1}A_{2})={\color{red}a_{1}a_{2}}+{\color{blue}b_{1}c_{2}}+{\color{orange}c_{1}b_{2}}+{\color{green}d_{1}d_{2}}={\rm tr}(A_{2}A_{1}). \]

No es posible extender naturalmente el concepto de traza a una clase de matrices $[A]$ de ${\rm PSL}(2,\mathbb{R}),$ porque los valores de las trazas de las matrices en dichas clases no coinciden. Más precisamente, la clase $[A]\in{\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ está conformada por las dos matrices \[ [A]=\{A,-A\}, \] donde

\[ {\rm tr}(A)=a+d \quad \text{ y } \quad {\rm tr }(-A)=-(a+d)=-{\rm tr}(A). \]

Esto significa que la traza de la clase $[A]$ toma dos valores \[ {\rm tr}[A]=\pm (a+d), \] y por lo tanto, no está bien definida. Sin embargo, para evitar este inconveniente, podemos definir el valor \[ {\color{blue}\rm Tr}[A]=({\rm tr}(A))^{2}=(a+d)^{2}. \]

La traza de la clase $[A]\in {\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ es el valor \[ {\color{blue} \rm Tr}[A]=({\rm tr}(A))^{2}. \]

Vamos a entender la traza de una transformación Möbius a partir de sus multiplicadores. Recordemos que una transformación de Möbius $T$ parabólica es conjugada a una translación $M,$ dada por \[ M(z)=z+b, \] para algún complejo no nulo $b.$ Dicha transformación $M$ está determinada por la clase de la matriz \begin{equation}\label{ec:multiplicadores_parabolicas} \left (\begin{matrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{matrix}\right). \end{equation} en ${\rm PSL}(2,\mathbb{C}).$ Contrariamente, si la transformación de Möbius $T$ tiene dos puntos fijos, entonces es conjugada a una tranformación de Möbius $M,$ dada por \[ M(z)=\alpha z, \] para algún complejo no nulo $\alpha\neq 1.$ Dicha transformación $M$ está determinada por la clase de la matriz \begin{equation}\label{ec:multiplicadores_no_parabolicas} \left (\begin{matrix} \sqrt{\alpha} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{\alpha}} \end{matrix}\right). \end{equation} en ${\rm PSL}(2,\mathbb{C}).$ Los términos al cuadrado que aparecen sobre la diagonal principal de las matrices que representan a las diferentes transformaciones de Möbius (véase ecucaciones \eqref{ec:multiplicadores_parabolicas} y \eqref{ec:multiplicadores_no_parabolicas}) se les conoce como multiplicadores.

Dada la transformación de Möbius $T$ diferente de la identididad. Entonces

Si $T$ es parabólica, entonces se define su multiplicador como $\alpha=1.$
Si $T$ es conjugada a la transformación $M(z)=\alpha z,$ para algún complejo no nulo $\alpha\neq 1,$ entonces los valores $\alpha$ y $\dfrac{1}{\alpha}$ son los multiplicadores de $T.$

Dado que la traza de una matriz es invariante bajo conjugación, entonces

\begin{equation}\label{ec:relacion_multiplicadores_traza} \begin{split} {\color{blue}\rm Tr}(T)={\color{blue}\rm Tr}(M)=({\rm tr}(M))^{2}&=\left(\sqrt{\alpha}+\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\right)^{2},\\ &=\alpha+2+\frac{1}{\alpha}.\\ \end{split} \end{equation}

Consideremos la transformación de Möbius $T$ con traza ${\color{blue}\rm Tr}[T].$ Entonces

$T$ es parabólica, si y solo si, ${\color{blue}\rm Tr}[T]=({\rm tr}(T))^{2}=4.$
$T$ es hiperbólica, si y solo si, ${\color{blue}\rm Tr}[T]=({\rm tr}(T))^{2}>4.$
$T$ es elíptica, si y solo si, ${\color{blue}\rm Tr}[T]=({\rm tr}(T))^{2}\lt4.$
$T$ es loxodrómica, si y solo si, ${\color{blue}\rm Tr}[T]=({\rm tr}(T))^{2} \notin [0,\infty].$

Iniciaremos probando la condición suficiente de cada inciso.

Supongamos que $T$ es parabólica, dado que el multiplicador de $T$ es $\alpha=1,$ entonces de la ecuación \eqref{ec:relacion_multiplicadores_traza} se sigue que \[ {\color{blue}\rm Tr}(T)=1+2+\frac{1}{1}=4. \]
Supongamos que $T$ es hiperbólica, entonces es conjugada a una transformación de $M$ dada por \[ M(z)=\alpha z=\dfrac{\sqrt{r} z+0}{0z+1/\sqrt{r}}, \] donde $r$ es un real positivo. Notemos que la transformación $M$ está determinada por la clase de la matriz \[ \left (\begin{matrix} \sqrt{r} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{r} \end{matrix}\right). \] en ${\rm PSL}(2,\mathbb{C}).$ Así, los multiplicadores de $T$ son $\sqrt{r}$ y $\dfrac{1}{\sqrt{r}}.$ De la ecuación \eqref{ec:relacion_multiplicadores_traza} se sigue que \begin{equation*} {\color{blue}\rm Tr}(T)=r+2+\frac{1}{r}. \end{equation*} Ahora, vamos a verificar la desigualdad \[ r+2+\frac{1}{r}>4, \] usando la relación $\left(\sqrt{r}-\dfrac{1}{\sqrt{r}}\right)^{2}>0.$ Entonces \begin{align} \left(\sqrt{r}-\frac{1}{\sqrt{r}}\right)^{2}&>0,\notag\\ r-2+\frac{1}{r}&>0,\label{ec:diferencia_multiplicadores}\\ r-2+\frac{1}{r}+{\color{red}4}&>{\color{red}4},\notag\\ r+2+\frac{1}{r}&>4.\notag \end{align}
Supongamos que $T$ es elíptica, entonces es conjugada a una transformación de Möbius $M,$ dada por \[ M(z)={\rm e}^{i\theta} z= \dfrac{ \rm e^{i\theta/2}z+0 }{ 0z+\rm e^{-i\theta/2} } , \] para algún $\theta\in (0,2\pi).$ Notemos que la transformación $M$ está determinada por la clase de la matriz \[ \left (\begin{matrix} {\rm e}^{i\theta/2} & 0 \\ 0 & {\rm e}^{-i\theta/2} \end{matrix}\right). \] en ${\rm PSL}(2,\mathbb{C}).$ Dado que la traza de una matriz es invariante bajo conjugación, entonces
\begin{equation*} \begin{split} {\color{blue}\rm Tr}(T)={\color{blue}\rm Tr}(M)=({\rm tr}(M))^{2}&=({\rm e}^{i\theta/2}+{\rm e}^{-i\theta/2})^{2},\\ &=(\cos (\theta/2)+i\,\sen (\theta/2)+\cos (-\theta/2)+i\,\sen (-\theta/2))^{2},\\ &=(\cos (\theta/2)+\cancel{\color{red}i\,\sen (\theta/2)}+\cos (\theta/2)-\cancel{\color{red}i\,\sen (\theta/2)})^{2},\\ &=(2\cos(\theta/2))^{2}. \end{split} \end{equation*}
Dado que $2\cos(\theta/2)\in (-2,2),$ para $\theta \in (0,2\pi),$ entonces ${\color{blue}\rm Tr}(T)\lt 4.$
Supongamos que $T$ es loxodrómica, entonces es conjugada a una translación $M$ dada por \[ M(z)=r{\rm e}^{i\theta}z=\dfrac{\sqrt{r} \rm e ^{i\theta/2}z+0}{0z+\dfrac{\rm e^{-i\theta/2}}{\sqrt{r}}}, \] para algún real positivo $r\neq 1$ y algún $\theta\in(0,2\pi).$ Notemos que la transformación $M$ está determinada por la clase de la matriz \[ \left (\begin{matrix} \sqrt{r}\rm e^{i\theta/2} & 0 \\ 0 & \dfrac{\rm e^{-i\theta/2}}{\sqrt{r}} \end{matrix}\right). \] en ${\rm PSL}(2,\mathbb{C}).$ Así, los multiplicadores de $T$ son $r{\rm e}^{i\theta}$ y $\dfrac{1}{r}e^{-i\theta}.$ De la ecuación \eqref{ec:relacion_multiplicadores_traza} se sigue que
\begin{equation*} \begin{split} {\color{blue}\rm Tr}(T)&=r{\rm e}^{i\theta}+2+\frac{1}{r}e^{-i\theta},\\ &=r\left(\cos\theta+i\,\sen\theta\right)+2+\frac{1}{r}\left(\cos\theta-i\,\sen\theta\right),\\ &=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta+2+i\left(r-\frac{1}{r}\right)\sen\theta. \end{split} \end{equation*}
Vamos a argumentar que $\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sen\theta\neq 0.$ Supongamos que $\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sen\theta= 0$ y $\left(r+\dfrac{1}{r}\right)\cos\theta+2$ es un real no negativo. Entonces \[ r-\dfrac{1}{r}=0 \quad \text{ o } \quad \sen\theta= 0. \] Para el primer caso, tendríamos que $r=1,$ pero para las transformaciones loxodrómicas se satisface que $r\neq 1.$ Ahora, para el siguiente caso se tiene que $\sen \theta=0$ y $\theta=\pi.$ Esta última igualdad implica que
\begin{equation}\label{ec:desigualdad_caso_loxodromico_traza} \left(1+\frac{1}{r}\right)\cos\pi+2=-\left(r+\frac{1}{r}\right)+2, \end{equation}
el cual es no negativo. Sin embargo, de la ecuación \eqref{ec:diferencia_multiplicadores} se tiene que \[ r+\frac{1}{r}>2, \] esta última desigualdad implica que el término descrito en la ecuación \eqref{ec:desigualdad_caso_loxodromico_traza} es negativo.

Finalmente, probaremos la condición necesaria de los incisos.

Supongamos que ${\color{blue}\rm Tr}(T)=4.$ Usando la relación descrita en \eqref{ec:relacion_multiplicadores_traza} se sigue que los multiplicadores de $T$ satisfacen \begin{equation} \begin{split} {\color{blue}\rm Tr}(T)&=\alpha+2+\frac{1}{\alpha}=4. \end{split} \end{equation} Esto implica que $\alpha$ satisface la ecuación \begin{equation} \begin{split} \alpha^{2}+2\alpha+1&=4\alpha,\\ \alpha^{2}-2\alpha +1&=0,\\ (\alpha-1)^{2}&=0.\\ \end{split} \end{equation} Por lo tanto, los multiplicadores de $T$ son $1$ y $\dfrac{1}{1},$ respectivamente. Dado que las transformaciones elípticas, hiperbólicas y loxodrómicas no tienen estos valores como multiplicadores, entonces $T$ debe ser parabólica.
Asumamos que ${\color{blue}\rm Tr}(T)>4.$ Usando la relación descrita en \eqref{ec:relacion_multiplicadores_traza} se sigue que los multiplicadores de $T$ satisfacen \begin{equation} \begin{split} {\color{blue}\rm Tr}(T)&=\alpha+2+\frac{1}{\alpha}>4. \end{split} \end{equation} Esto implica que $\alpha$ el un complejo que satisface la inecuación \begin{equation} \begin{split} \alpha^{2}+2\alpha+1&>4\alpha,\\ \alpha^{2}-2\alpha +1&>0,\\ (\alpha-1)^{2}&>0.\\ \end{split} \end{equation} Por lo tanto, $\alpha$ es un real tal que $\alpha \in (-\infty,1)\cup (1,\infty).$ Dado que las transformaciones elípticas y loxodrómicas no tienen reales como multiplicadores, entonces $T$ debe ser una transformación hiperbólica.
Supongamos que ${\color{blue}\rm Tr}(T)\lt 4,$ entonces los multiplicadores de la transformación de Möbius $T$ deben de satisfacer la desigualdad \[ \alpha +2 +\dfrac{1}{\alpha}\lt4. \] De los incisos $\textbf{1.}$ y $\textbf{2.}$ ya demostrados se sigue que $\alpha=r{\rm e}^{i\theta},$ para alún $r>0$ y algún $\theta\in (0,2\pi).$ Si $r\neq1,$ es decir $T$ es loxodrómica, entonces de la condició suficiente del inciso \textbf{(4)}, se sigue que $\alpha +2 +\dfrac{1}{\alpha}$ es un complejo que no pertene al intervalo $[0,\infty].$ Este hecho es una contradicción, por lo tanto, $T$ es elíptica.
Asumamos que ${\color{blue}\rm Tr}(T)\notin [0,\infty].$ Como consecuencia de la prueba de los tres incisos anteriores ya demostrados, se concluye que $T$ no es ningua de las siguientes: paraboólica, hiperbólica y elíptica. Por lo tanto, $T$ debe ser loxodrómica.

Problemas

Prueba que el conjunto ${\rm Homeo}(\widehat{\mathbb{C}})$ de todos los homeomorfismos desde el plano Complejo Extendido hasta simismo con la operación composición de funciones es un grupo.
Probar las transformaciones de Möbius son homeomorfismos del plano complejo extendido $\widehat{\mathbb{C}}$ en si mismo.
Prueba el Teorema 1, para el caso en el que alguno de los coeficientes toma el valor de cero.
Probar que las homotecias y las rotaciones envían círculos generalizados en círculos generalizados.
Dados los reales $A,B,C,D\in\mathbb{R}$ tal que $B^{2}+C^{2}-AD>0,$ probar la desigualdad $B^{2}+C^{2}+AD.$
Recordemos que el grupo $G$ actúa sobre el conjunto $X,$ si existe una función $\alpha:G\times X \to X$ tal que
1. Para todo $x\in X,$ se cumple $\alpha({\rm Id},x)=x.$
2. Dados cualesquiera dos elementos $g_{1},g_{2}\in G$ y cualquier elemento $x\in X,$ se cumple $\alpha(g_{1},\alpha(g_{2},x))=\alpha(g_{1}g_{2},x).$
Verificar que la función desde el grupo de transformaciones de Möbius $\mathcal{M}$ actúa sobre el conjunto de todos los círculos generalizados del plano Complejo Extendido $\widehat{\mathbb{C}},$ donde la acción $\alpha$ envía la pareja $(T,\mathcal{C})$ es envía al círculo generalizado $T(\mathcal{C}),$ siendo $T$ una transformación de Möbius y $\mathcal{C}$ un círculo generalizado.
Probar que la funcón determinante (véase \eqref{eq:funcion_determinante_homomorfismo}) es un homomorfismo sobreyectivo de grupos.
Recordemos que Grupo Lineal Especial (también llamado Grupo Unimodular), denotado mediante ${\rm SL}(2,\mathbb{C}),$ es el conjunto conformado por las matrices de $2\times 2$ \[ A= \left (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right), \] tal que $a,b,c,d\in\mathbb{C}$ y el determinante $det(A)=1,$ junto con la operación multiplicación usual de matrices (véase Definición 5). Prueba las siguientes afirmaciones:
1. ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$ es un subgrupo de ${\rm GL}(2,\mathbb{C}).$
2. ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$ es un subconjunto cerrado de $\mathfrak{M}.$
Probar que el Grupo Proyectivo Lineal Especial ${\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ es un grupo (véase Definición 6). Verifiquese primero que la operación definida en la ecuación \eqref{eq:proyectivo_lineal_especial} no depende del representante de la clase de equivalencia. Adicionalmente, verifica que ${\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ y ${\rm PGL}(2,\mathbb{C})/\mathbb{C}^{\ast}$ son isomorfos.
Prueba que $\mathbb{C}^4$ y $\mathcal{M}$ son homeomorfos.
Verifica las propiedades de la traza de una matriz descritas en el Teorema 13.